פתרון לינארית 2, אונ' קנט, יוני 2010, שאלה 21

א. נתון שהפולינום האופייני של האופרטור הוא: [math]\displaystyle{ P_T(x)=(x-2)^4(x-3)^2 }[/math] . סכום החזקות של הפולינום המינימלי של האופרטור הוא 6, ולכן צורת ז'ורדן היא מסדר 6X6. צורת זו'רדן של האופרטור תיראה מהצורה: [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} G1 & 0\\ 0& G2 \end{pmatrix} }[/math] כאשר G1, G2 הם בלוקים השייכים לע"ע של האופרטור 2 ו-3 בהתאמה.

אמצא את G1, השייך לע"ע 2:

ריבוי האלגברי של הע"ע 2 בפולינום האופייני הוא 4, ולכן G1 הוא מסדר 4X4. הפולינום המינימלי של האופרטור הוא: [math]\displaystyle{ M_T(x)=(x-2)^2(x-3)^2 }[/math] החזקה של הע"ע 2 בו הוא 2. לכן, בלוק ז'ורדן הגדול ביותר שיופיע ב-G1 הוא מסדר 2X2. כלומר, ל-G1 מספר אפשרויות: [math]\displaystyle{ diag\left \{ J_2(2), J_2(2) \right \} }[/math] או [math]\displaystyle{ diag\left \{ J_2(2), J_1(2), J_1(2) \right \} }[/math].

אמצא את G2, השייך לע"ע 3:

ריבוי האלגברי של הע"ע 3 בפולינום האופייני הוא 2, ולכן G2 הוא מסדר 2X2. החזקה של הע"ע 3 בפולינום המינימלי הוא גם 2, ולכן בלוק ז'ורדן הגדול ביותר שיופיע בו יהיה מסדר 2X2. ולכן, ל-G2 יש רק אפשרות אחת, והיא: [math]\displaystyle{ diag\left \{ J_2(3)\right \} }[/math]

ולכן, כל צורות ז'ורדן האפשריות לאופרטור הן: [math]\displaystyle{ diag\left \{ J_2(2), J_2(2),J_2(3) \right \} }[/math] או [math]\displaystyle{ diag\left \{ J_2(2), J_1(2), J_1(2),J_2(3) \right \} }[/math].

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0& 0 & 2 & 1 & 0& 0\\ 0& 0 & 0& 2 & 0& 0\\ 0& 0&0 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} }[/math] או [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0& 0 & 2 & 0 & 0& 0\\ 0& 0 & 0& 2 & 0& 0\\ 0& 0&0 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} }[/math]

ב. הפולינום האופייני שלו הוא: [math]\displaystyle{ P_T(x)=(x-4)^5 }[/math] , ולכן צורת ז'ורדן היא מסדר 5X5. בנוסף, נתון ש: [math]\displaystyle{ dim(ker(T-4I))=3 }[/math]. עפ"י הנוסחא הבאה, מספר בלוקי הז'ורדן של הע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] של האופרטור המופיעים בצורת ז'ורדן שלו הם: [math]\displaystyle{ dim(ker(T-\lambda I) }[/math] ולכן, עבור הע"ע [math]\displaystyle{ \lambda=4 }[/math] מספר בלוקי הז'ורדן הם: [math]\displaystyle{ dim(ker(T-4I))=3 }[/math] כלומר 3. מכיוון שאינינו יודעים את הריבוי האלגברי של הפולינום המינימלי, אין לדעת מהו הסדר של בלוק הז'ורדן הגדול ביותר, ולכן ישנן 2 אפשרויות: [math]\displaystyle{ diag\left \{ J_3(4),J_1(4),J_1(4) \right \} }[/math] או [math]\displaystyle{ diag\left \{ J_2(4),J_2(4),J_1(4) \right \} }[/math].

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 4 &1 &0 &0 &0 \\ 0 & 4 &1 &0 &0 \\ 0 & 0 &4 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 &0\\ 0 & 0 & 0 & 0 &4 \end{pmatrix} }[/math] או [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 4 &1 &0 &0 &0 \\ 0 & 4 & 0 &0 &0 \\ 0 & 0 &4 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 &0\\ 0 & 0 & 0 & 0 &4 \end{pmatrix} }[/math]

מ.ש.ל (: