פתרון לינארית 2, אונ' קנט, 2010, יוני, שאלה 22

א. נתון שהפולינום האופייני של המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] הוא: [math]\displaystyle{ P_A(x)=(x-3)^5 }[/math] ולכן הריבוי האלגברי שלו הוא 5. כלומר, צורת הג'ורדן של המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] היא מסדר [math]\displaystyle{ 5 \times 5 }[/math].

בנוסף, ניתן לראות שלמטריצה ערך עצמי יחיד שהוא 3, ולכן כל בלורי ג'ורדן שיופיעו לאורך האלכסון של צורת ז'ורדן של המטריצה יהיו מהצורה הבאה: [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & \cdot & 0\\ 0 & 3 & 1 & \cdot & \cdot \\ \cdot & 0 & \cdot & \cdot &0 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &1 \\ 0& \cdot & \cdot & 0 & 3 \end{pmatrix} }[/math] בה על אלכסון הבלוק מצוי הערך העצמי 3, מעליו אפסים, וכל שאר המטריצה מלאה באפסים.

הפולינום המינימלי של המטריצה הוא: [math]\displaystyle{ M_A(x)=(x-3)^3 }[/math] והריבוי האלגברי שלו הוא 3. כלומר, בלוק הז'ורדן הגדול ביותר שיופיע במטריצה הוא מסדר [math]\displaystyle{ 3 \times 3 }[/math]. כלומר, ישנן שתי אפשרויות: [math]\displaystyle{ diag\left \{ J_3(3),J_2(3) \right \} }[/math] או [math]\displaystyle{ diag\left \{ J_3(3),J_1(3),J_1(3) \right \} }[/math].

ולכן, אלו הן כל האפשרויות לצורת ז'ורדן:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0& 0 & 3 & 0 & 0\\ 0& 0 & 0 & 3 &1 \\ 0& 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} }[/math] או [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0& 0 & 3 & 0 & 0\\ 0& 0 & 0 &3 &0 \\ 0& 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} }[/math]

ב. נתונה המטריצה: [math]\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0 & -2 & 0\\ 1 & 0& 3& -1& 0\\ 0 & -1& 2& 3& 0\\ 0 & 2& -3& 0& 3 \end{bmatrix} }[/math]

ידוע לי שהפולינום האופייני והמינימלי שלה הם אלו המופיעים בסעיף הקודם, ונותר לי רק להחליט איזו צורת ז'ורדן מבין השתיים הנ"ל שייכת לה. מספר בלוקי הז'ורדן המופיעים בצורת ז'ורדן של המטריצה שווים ל-[math]\displaystyle{ n-\rho (A-\lambda I) }[/math]. ידוע לי ש n=5 ולכן נותר רק למצוא את הדרגה של [math]\displaystyle{ A-\lambda I }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא הע"ע של A, ולפי הפולינום המינימלי הנתון, ידוע שהוא 3.

[math]\displaystyle{ A-3I = \begin{bmatrix} 0 &-1 &2 & 0 &0 \\ 2& 0& 0 & -2& 0\\ 1& 0& 0 & -1& 0\\ 0& -1&2 & 0& 0\\ 0& 2 & -3 & 0 &0 \end{bmatrix} }[/math] וניתן לראות, שהשורה השנייה והשלישית ת"ל, והשורה הראשונה והרביעית ת"ל. לכן, זה מותיר אותנו עם 3 שורות שאינן תלויות לינארית, ולכן [math]\displaystyle{ \rho (A-3 I)=3 }[/math]. כלומר, [math]\displaystyle{ n-\rho (A-3I)=5-3=2 }[/math]. ולכן, מספר בלוקי הז'ורדן שיופיעו על האלכסון הוא 2. ולכן, צורת הז'ורדן המתאימה היא: [math]\displaystyle{ diag\left \{ J_3(3),J_2(3) \right \} }[/math], [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0& 0 & 3 & 0 & 0\\ 0& 0 & 0 & 3 &1 \\ 0& 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} }[/math]

מ.ש.ל (: