פתרון לינארית 2, אונ' קנט, 2010, יוני, שאלה 25

עבור המטריצה A:

א. [math]\displaystyle{ \underset{A}{p(x)} = \begin{vmatrix} x-2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & x-1 & 0 & 0\\ -2 & 0 & x-1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix} = (x-2)\begin{vmatrix} x-1 & 0 & 0\\ 0 & x-1 & -1\\ 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix} = (x-2)(x-1)^3 }[/math] לפי פיתוח של שורה ראשונה.

ב. [math]\displaystyle{ \underset{A}{m(x)} = (x-2)(x-1)^l }[/math]. נמצא את l. עבור l=1 נקבל [math]\displaystyle{ (x-2)(x-1) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] כלומר לא שווה ל-0, ולכן l גדול ממש מ-1. עבור l=2 נקבל [math]\displaystyle{ (x-2)(x-1)^2=0 }[/math] ולכן l=2 כלומר: [math]\displaystyle{ \underset{A}{m(x)} = (x-2)(x-1)^2 }[/math]

ג. לפי הפולינום האופייני [math]\displaystyle{ \lambda = 1,2 }[/math]

ד. עבור [math]\displaystyle{ \lambda = 2 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \underset{2}{k} = 1 }[/math] ולכן מפני ש-[math]\displaystyle{ \underset{\lambda}{m} \leq \underset{\lambda}{k} }[/math] נקבל: [math]\displaystyle{ \underset{2}{m} = 1 }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ dim(\underset{2}{V}) = \underset{2}{m} = 1 }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ \lambda = 1 }[/math], נחפש את [math]\displaystyle{ dim(\underset{1}{V}) = \underset{1}{m} = n - \rho(A) }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ \rho(A) = \rho\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 }[/math] לפי דירוג המטריצה (לינארית 1) ולכן [math]\displaystyle{ dim(\underset{1}{V}) = 2 }[/math].

ה. לפי הסעיפים הקודמים נקבל שצורת הז'ורדן מורכת משתי צורות ז'ורדן G1,G2 הקשורות ל-2,1 בהתאמה. מפני שהריבוי האלגברי של הע"ע 2 הוא 1 כלומר היא מגודל 1x1, נקבל [math]\displaystyle{ G1 = \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix} }[/math]. מפני שהריבוי האלגברי של הע"ע 1 הוא 3 כלומר היא מגודל 3x3, והריבוי הגיאומטרי הוא 2 כלומר היא מורכבת משני בלוקים, נקבל [math]\displaystyle{ G1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]. לבסוף קיבלנו: [math]\displaystyle{ J = \begin{pmatrix} 2&0&0&0\\ 0&1 & 1 & 0\\ 0&0 & 1 & 0\\ 0&0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]

עבור המטריצה B:

א. [math]\displaystyle{ \underset{B}{p(x)} = \begin{vmatrix} x-1 & -1 & 0 & 0\\ 1 & x-3 & 0 & 0\\ 1 & -1 & x-1 & -1\\ 1 & -1 & 1 & x-3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x-1 & -1\\ 1 & x-3 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x-1 & -1\\ 1 & x-3 \end{vmatrix} = (x^2-4x+3+1)^2 = (x-2)^4 }[/math] לפי היותה של B מצורת משולשית בלוקים.

ב. [math]\displaystyle{ \underset{B}{m(x)} = (x-2)^l }[/math] נמצא את l. עבור l=1 נקבל [math]\displaystyle{ x-2 = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & -1 & 1\\ -1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} }[/math] כלומר לא שווה ל-0, ולכן l גדול ממש מ-1. עבור l=2 נקבל [math]\displaystyle{ (x-2)^2 = 0 }[/math] ולכן l=2 כלומר: [math]\displaystyle{ \underset{B}{m(x)} = (x-2)^2 }[/math]

ג. לפי הפולינום האופייני [math]\displaystyle{ \lambda = 2 }[/math]

ד. עבור [math]\displaystyle{ \lambda = 2 }[/math] נחפש את [math]\displaystyle{ dim(\underset{2}{V}) = \underset{2}{m} = n - \rho(A) }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ \rho(B) = \rho\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} = 2 }[/math] לפי דירוג המטריצה ולכן [math]\displaystyle{ dim(\underset{2}{V}) = 2 }[/math].

ה. נקבל שצורת הז'ורדן: מפני שהריבוי האלגברי של הע"ע הוא 4 כלומר היא מגודל 4x4, והריבוי הגיאומטרי הוא מגודל 2 כלומר היא מורכבת מ-2 בלוקים, וכן הבלוק הגדול ביותר הוא מגודל 2x2 נקבל: [math]\displaystyle{ J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} }[/math]

עבור המטריצה C:

א. [math]\displaystyle{ \underset{C}{p(x)} = \begin{vmatrix} x-2 & 1 & -1 & 1\\ 0 & x-1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & x-3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & x-2 \end{vmatrix} = (x-2)\begin{vmatrix} x-2 & 1 & -1\\ 0 & x-1 & -1\\ 0 & 1 & x-3 \end{vmatrix} = (x-2)^2\begin{vmatrix} x-1 & -1\\ 1 & x-3 \end{vmatrix} = (x-2)^4 }[/math] לפי פיתוח לפי שורה אחרונה ולאחר מכן פיתוח לפי טור ראשון.

ב. [math]\displaystyle{ \underset{C}{m(x)} = (x-2)^l }[/math] נמצא את l. עבור l=1 נקבל [math]\displaystyle{ x-2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] כלומר לא שווה ל-0, ולכן l גדול ממש מ-1. עבור l=2 נקבל [math]\displaystyle{ (x-2)^2 = 0 }[/math] ולכן l=2 כלומר: [math]\displaystyle{ \underset{C}{m(x)} = (x-2)^2 }[/math]

ג. לפי הפולינום האופייני [math]\displaystyle{ \lambda = 2 }[/math]

ד. עבור [math]\displaystyle{ \lambda = 2 }[/math] נחפש את [math]\displaystyle{ dim(\underset{2}{V}) = \underset{2}{m} = n - \rho(A) }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ \rho (A) = \rho \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} }[/math] לפי דירוג המטריצה ולכן dim(\underset{2}{V}) = 3.

ה. נקבל שצורת הז'ורדן: מפני שהריבוי האלגברי של הע"ע הוא 4 כלומר היא מגודל 4x4, והריבוי הגיאומטרי הוא מגודל 3 כלומר היא מורכבת מ-3 בלוקים, וכן הבלוק הגדול ביותר הוא מגודל 2x2 נקבל: [math]\displaystyle{ J = \begin{pmatrix} 2 & 1 &0 &0 \\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} }[/math]