פתרון לתרגיל 1.8 בחוברת לינארית

תרגיל 1.8

יהיה [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math]. יהיו וקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...v_n \in V }[/math]. נגדיר את מטריצת גרהם [math]\displaystyle{ A }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ a_{ij}=\lt v_i,v_j\gt }[/math]. הוכח:

[math]\displaystyle{ v_1,...v_n\iff |A|=0 }[/math] ת"ל

פתרון

נסתכל על צירוף לינארי כללי של עמודות [math]\displaystyle{ A }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}\alpha_j C_j(A) =\sum_{j=1}^{n}\alpha_j \begin{bmatrix} \lt v_1,v_j\gt \\ \vdots \\ \lt v_n,v_j\gt \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sum_{j=1}^{n}\alpha_j\lt v_1,v_j\gt \\ \vdots \\ \sum_{j=1}^{n}\alpha_j\lt v_n,v_j\gt \end{bmatrix}= }[/math]

זה שווה עפ"י כמו לינאריות במשתנה שני ל

[math]\displaystyle{ =\begin{bmatrix} \lt v_1,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j\gt \\ \vdots \\ \lt v_n,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j\gt \end{bmatrix} }[/math]

זה שווה לאפס אם [math]\displaystyle{ \forall i : \lt v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j\gt =0 }[/math]

טענת עזר (נוכיח אותה מיד): [math]\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j =0 \iff \forall i : \lt v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j\gt =0 }[/math]

לכן הגענו למסקנה ש

[math]\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}\alpha_j C_j(A)=0 \iff \sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0 }[/math]

לכן

יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של עמודות המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] אם"ם יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...v_n }[/math].

נובע מיידית ש [math]\displaystyle{ |A|=0 }[/math] [math]\displaystyle{ \iff }[/math] עמודות [math]\displaystyle{ A }[/math] ת"ל [math]\displaystyle{ \iff }[/math] הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...v_n }[/math] ת"ל

מ.ש.ל

הוכחת טענת העזר

[math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math]

נניח

[math]\displaystyle{ \forall i : \lt v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j\gt =0 }[/math]

אזי גם

[math]\displaystyle{ \forall i : \overline{\alpha_i}\lt v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j\gt =0 }[/math]

ולכן גם הסכום שלהם שווה אפס

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i}\lt v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j\gt =0 }[/math]

ולפי לינאריות במשתנה ראשון זה שווה

[math]\displaystyle{ \lt \sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j\gt =0 }[/math]

אבל הסכום בשני הצדדים הוא אותו סכום בדיוק! נסמן [math]\displaystyle{ u=\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lt u,u\gt =0 }[/math] וזה נכון רק אם [math]\displaystyle{ u=0 }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]

בכיוון ההפוך, נניח [math]\displaystyle{ u=\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0 }[/math] לכן ברור ש[math]\displaystyle{ \lt w,u\gt =\lt w,0\gt =0 }[/math] לכל וקטור [math]\displaystyle{ w }[/math], ולכן

[math]\displaystyle{ \forall i : \lt v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j\gt =\lt v_i,u\gt =0 }[/math]