פתרון 3 (אלעד איטח)

תהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ dimV=4 }[/math]. נניח בנוסף שמתקיים [math]\displaystyle{ Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3}) }[/math]

נניח בשלילה ש-T נילפוטנטית מאינדקס 1. כלומר T=0, ולכן גם [math]\displaystyle{ T^{2}=T^{3}=0 }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ Ker(T^{2})=Ker(T^{3})=V }[/math]

בסתירה להנחה ששני אלה שונים זה מזה. בדומה, נניח בשלילה ש-T נילפוטנטית מאינדקס 2, ונגיע שוב לאותה סתירה. נניח בשלילה ש-T נילפוטנטית מאינדקס יותר גדול מ-4, אזי הבלוק הגדול ביותר בצורת הז'ורדן שלה

(ולפי משפט ז'ורדן עבור הע"ל נילפוטנטיות, קיימת צורת ז'ורדן ל-T) הוא מסדר 5. אבל צורת הז'ורדן של T היא מסדר 4, בגלל שהמימד של V הוא 4, בסתירה.

לכן, T נילפוטנטית מאינדקס 3 או 4. נניח שהיא נילפוטנטית מאינדקס 3, אזי הבלוק הגדול ביותר בצורת הז'ורדן הוא מסדר 3. בדומה, אם T נילפוטנטית מאינדקס 4, אז הבלוק הגדול ביותר בצורת הז'ורדן הוא מסדר 4.

כך או כך, בוודאות קיים בלוק בצורת הז'ורדן של T בלוק מסדר 3 או יותר.

לכו, התשובה הנכונה היא תשובה ג: "בצורת ז'ורדן של T בלוק מסדר =>3".