פתרון 8 (אלעד איטח)

נמצא את הפולינום האופייני של A:

[math]\displaystyle{ f_{A}(x)=\begin{vmatrix} x-3 &-1 &0 \\ 0 &x-2 &0 \\ 0 &0 &x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}(x-3) }[/math]

שורשי פולינום זה הינם הע"ע של A. לכן, 2 ו-3 הם ע"ע של A, מריבוי אלגברי 2 ו-1 בהתאמה. הריבוי הגיאומטרי של 3 גדול או שווה ל-1 וגם קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו (1). לכן, הריבוי הגיאומטרי של 3 הוא 1. נחשב ונקבל ש- [math]\displaystyle{ (A-2I)(A-3I)=O }[/math]

כלומר, קיים פולינום מתוקן ומאפס של A, ממעלה הנמוכה ביותר כך שיש לו אותם גורמים

אי-פריקים כמו הפולינום האופייני. לכן, [math]\displaystyle{ m_{A}(x)=(x-2)(x-3) }[/math] הוא הפולינום

המינימלי של A. הפולינום האופייני מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן של A ש-A דומה לה. בצורה זו, מס' הבלוקים של כל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי והבלוק הגדול ביותר של ע"ע t הוא מסדר השווה

לחזקה של x-t בפולינום המינימלי של A. לכן יש בלוק אחד מסדר 1 של הע"ע 3 והבלוק הכי גדול של הע"ע 2 הוא מסדר 1. צורת הז'ורדן של A היא מסדר 3. לכן בצורה זו יש גם שני בלוקים מסדר 1 של הע"ע 2.

לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 2 &0 &0 \\ 0 &2 &0 \\ 0 &0 &3 \end{pmatrix} }[/math]

כלומר, A דומה למטריצה אלכסונית. לפיכך, התשובה הנכונה היא ש-A לכסינה.