תרגיל 1

1.7

[math]\displaystyle{ A =\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} }[/math] הפולינום האופייני הינו [math]\displaystyle{ f_A(\lambda)=|\lambda I-A|=|\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}|=|\begin{bmatrix} \lambda-1 & -1 \\ 1 & \lambda-1 \end{bmatrix}|=(\lambda-1)^2+1 }[/math]

אבל זה ביטוי שתמיד גדול מאפס ולכן לא קיים [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] שמאפס את הפולינום האופייני. כלומר לא קיימים ערכים עצמיים.

1.9

תוצאת המכפלה [math]\displaystyle{ B\cdot\begin{bmatrix}1\\1\\1\\ \vdots \\1\end{bmatrix} }[/math] היא וקטור שהעמודה הi שלו היא סכום השורה הi של B. השורות של [math]\displaystyle{ A^t }[/math] הינן העמודות של [math]\displaystyle{ A }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ A\cdot\begin{bmatrix}1\\1\\1\\ \vdots \\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\ \vdots \\1\end{bmatrix} }[/math] כי הרי סכום כל עמודה של [math]\displaystyle{ A }[/math] הוא אחד. לכן הוקטור העצמי הוא [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}1\\1\\1\\ \vdots \\1\end{bmatrix} }[/math] והערך העצמי הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math]

1.15

א. [math]\displaystyle{ A }[/math] ניליפוטנטית מסדר [math]\displaystyle{ k }[/math] לכן [math]\displaystyle{ A^{k-1}\neq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ A^k=0 }[/math]. נניח [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ Av=\lambda v }[/math] עבור איזה [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math]. נכפול ב[math]\displaystyle{ A^{k-1} }[/math] לקבל [math]\displaystyle{ 0=A^kv=\lambda^kv }[/math] אבל [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] לכן [math]\displaystyle{ \lambda=0 }[/math]. אפס חייב להיות ערך עצמי של [math]\displaystyle{ A }[/math] מכיוון שאפס הוא ע"ע של כל מטריצה לא הפיכה (ובוודאי ניליפוטנטית לא הפיכה). בסיכום, 0 ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] והוא יחיד.

ב. [math]\displaystyle{ \alpha I - A }[/math] הפיכה אם"ם [math]\displaystyle{ |\alpha I - A|\neq 0 }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] לא ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם"ם (לפי א') [math]\displaystyle{ \alpha\neq 0 }[/math].

ג. [math]\displaystyle{ \sum_{j=0}^{k-1}\frac{1}{\alpha^{j+1}}A^j \cdot (\alpha I - A) = \sum_{j=0}^{k-1}\frac{1}{\alpha^j}A^j - \sum_{j=0}^{k-1}\frac{1}{\alpha^{j+1}}A^{j+1} = A^0-A^k=I }[/math]

2.5

א. עמודות [math]\displaystyle{ P }[/math] מהוות בסיס ולכן בת"ל ולכן [math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה.

ב. [math]\displaystyle{ D=P^{-1}AP }[/math].

[math]\displaystyle{ C_i(D)=P^{-1}C_i(AP) }[/math].

[math]\displaystyle{ C_i(AP)=AC_i(P) }[/math].

אבל עמודות [math]\displaystyle{ P }[/math] הן וקטורים עצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ AC_i(P)=\lambda_iC_i(P) }[/math]

[math]\displaystyle{ I=P^{-1}P }[/math]

[math]\displaystyle{ C_i(I)=P^{-1}C_i(P) }[/math]

בסיכום:

[math]\displaystyle{ C_i(D)=P^{-1}\lambda_iC_i(P)=\lambda_iC_i(I) }[/math]

ובמילים, [math]\displaystyle{ D }[/math] אלכסונית

2.7

א.

[math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{bmatrix} }[/math]

קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ A }[/math]:

[math]\displaystyle{ -f_A=|A-\lambda I|=| \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}|= |\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}|=(\lambda-2)^2(\lambda-6) }[/math]

כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math]. המרחב העצמי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ (A-\lambda I)v=0 }[/math]. בסיס למרחב הפתרונות של [math]\displaystyle{ (A-2I)v=0 }[/math] הינו [math]\displaystyle{ \{(-1,1,0),(-1,0,1)\} }[/math] ובסיס למרחב הפתרונות של [math]\displaystyle{ (A-6I)v=0 }[/math] הינו [math]\displaystyle{ \{(1,2,1)\} }[/math].

חישבנו בסיסים של המרחבים העצמיים, סכום מימדי הבסיסים הינו 3 ולכן יש בסיס למרחב כולו המורכב מוקטורים עצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math]:

[math]\displaystyle{ B=\{(-1,1,0),(-1,0,1),(1,2,1)\} }[/math]

נשים את וקטורי הבסיס הזה בעמודות לקבל את המטריצה [math]\displaystyle{ P=\begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ P^{-1}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix} -2 & 2 & -2 \\ -1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix} }[/math]

ועל מנת ללכסן את המטריצה אנחנו צריכים לבצע את הכפל הבא: [math]\displaystyle{ D=P^{-1}AP }[/math] לקבל -

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{bmatrix} }[/math]

ב.

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2^{21}}A^{21}= \frac{1}{2^{21}}(PDP^{-1})^{21}=P\frac{1}{2^{21}}D^{21}P^{-1}=P\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3^{21} \end{bmatrix}P^{-1} }[/math]