פתרונות לקורס לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - תרגיל 2
תרגיל 2
תרגיל 2.14
הראנו בתרגיל 1.10 ש [math]\displaystyle{ (1,\phi,\phi^2,\cdots,\phi^{n-1}) }[/math] הוא וקטור עצמי עבור [math]\displaystyle{ \phi }[/math] שורש יחידה מסדר [math]\displaystyle{ n }[/math]. נרצה להוכיח שעבור [math]\displaystyle{ n }[/math] שורשי היחידה השונים מתקבלים [math]\displaystyle{ n }[/math] וקטורים עצמיים שונים ובת"ל. נמקם את הוקטורים האלה בשורה ונקבל מטריצת ונדרמונדה. הדטרמיננטה של מטריצה זו היא [math]\displaystyle{ \det(A) = \prod_{1\le i\lt j\le n} (\phi_j-\phi_i). }[/math]. מכיוון ששורשי היחידה שונים זה מזה, [math]\displaystyle{ det(A)\neq 0 }[/math] כלומר הוקטורים העצמיים בת"ל. ולכן הם פורסים מרחב ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math] ולכן המטריצה לכסינה.
חישוב הדטרמיננטה של מטריצת ונדרמונדה
[math]\displaystyle{ V=\begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \dots & \alpha_n^{n-1}\\ \end{bmatrix} }[/math]
- לפי האלגוריתם בספר, נחסיר מכל עמודה את העמודה הקודמת כפול [math]\displaystyle{ \alpha_1 }[/math] לקבל:
[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & \alpha_2 - \alpha_1 & \alpha_2^2 - \alpha_1 \alpha_2 & \dots & \alpha_2^{n-1} - \alpha_1 \alpha_2^{n-2}\\ 1 & \alpha_3- \alpha_1 & \alpha_3^2 - \alpha_1 \alpha_3 & \dots & \alpha_3^{n-1} - \alpha_1 \alpha_3^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_n - \alpha_1 & \alpha_n^2 -\alpha_1 \alpha_n & \dots & \alpha_n^{n-1} - \alpha_1 \alpha_n^{n-2}\\ \end{bmatrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
1 & \alpha_2 - \alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2 - \alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2 - \alpha_1)\\
1 & \alpha_3- \alpha_1 & \alpha_3(\alpha_3- \alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3- \alpha_1)\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
1 & \alpha_n - \alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n - \alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n - \alpha_1)\\
\end{bmatrix} }[/math]
- נחשב את הדטרמיננטה לפי השורה הראשונה לקבל [math]\displaystyle{ det(V)=det(V_{11}) }[/math].
- ב [math]\displaystyle{ V_{11} }[/math] נחלק כל שורה [math]\displaystyle{ i }[/math] ב [math]\displaystyle{ \alpha_i- \alpha_1 }[/math] ונמשיך באינדוקציה.