תרגיל 3

5.21

ניתן דוגמאות נגדיות לכל הסעיפים:

א. [math]\displaystyle{ A=J_2(\lambda), B=\lambda I_2 }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ A=J_2(\lambda) \oplus J_1(\lambda) \oplus J_1(\lambda), B= J_2(\lambda)\oplus J_2(\lambda) }[/math]

איך אנו יודעים שהן לא דומות ללא משפט ז'ורדן? מכיוון שהריבוי הגיאומטרי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] שונה בין שתי המטריצות (בA הוא 3 ובB הוא 2. קל לראות את זה מחישוב ישיר של המרחב העצמי).
מדוע הריבוי הגיאומטרי חייב להיות שווה בין מטריצות דומות? כי מטריצה הדומה למטריצה אחרת למעשה מייצגת את אותו האופרטור רק בשינוי קואורדינטות. לכן מימד המרחב העצמי חייב להיות זהה, רק הוקטור משתנה (כי הוא למעשה אותו וקטור רק בקואורדינטות אחרות.

ג.[math]\displaystyle{ A=J_1(\lambda_1) \oplus J_1(\lambda_2) \oplus J_1(\lambda_2), B=J_1(\lambda_1) \oplus J_1(\lambda_1) \oplus J_1(\lambda_2) }[/math]

5.22

א.

נתון [math]\displaystyle{ A^2=A }[/math] לכן ברור ש [math]\displaystyle{ p(A)=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ p=x^2-x=x(x-1) }[/math].
הפולינום המינימלי מחלק כל פולינום שמאפס את המטריצה לכן הפולינום המינימלי הוא [math]\displaystyle{ x, x-1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x(x-1) }[/math]
אם [math]\displaystyle{ A=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ m_A=x }[/math]. אם [math]\displaystyle{ A=I }[/math] אזי [math]\displaystyle{ m_A=x-1 }[/math]. אף מטריצה אחרת לא מאפסת את שני הפולינום האלה, לכן עבור כל מטריצה אחרת [math]\displaystyle{ m_A=x(x-1) }[/math]

ב.

הע"ע מאפסים את הפולינום המינימלי ולכן האופציות הן 0 ו/או 1.

ג.

הפירוק נתון כבר בסעיף א'.

ד.

הפולינום המינימלי מתפרק לגורמים לינאריים, לכן המטריצה ניתנת לשילוש, לכן היא דומה למטריצה משולשית שעל האלכסון שלה נמצאים הע"ע של המטריצה.
אם [math]\displaystyle{ A~B }[/math] אזי [math]\displaystyle{ tr(A)=tr(B) }[/math] הוכחה: למדנו ש[math]\displaystyle{ tr(AB)=tr(BA) }[/math]. לכן אם [math]\displaystyle{ A=P^{-1}AP }[/math] אז [math]\displaystyle{ tr(B)=tr(P^{-1}AP)=tr(PP^{-1}A)=tr(A) }[/math]
לכן [math]\displaystyle{ A }[/math] דומה למטריצה משולשית [math]\displaystyle{ U }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ tr(A)=tr(U) }[/math]. האלכסון של [math]\displaystyle{ U }[/math] בנוי מאחדות ואפסים, והאורך שלו הוא [math]\displaystyle{ n }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ 0 \leq tr(A)=tr(U)\leq n }[/math]