פתרונות לקורס לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - תרגיל 5

תרגיל 5

שאלה 1.4

א. זכרו שהמכפלה הפנימית הסטנדרטית מעל הממשיים היא [math]\displaystyle{ \lt v,w\gt =v^tw }[/math] ובמקרה זה [math]\displaystyle{ \lt (1,2,3),(-1,-2,-3)\gt =1\cdot (-1)+2\cdot (-2)+3\cdot (-3)=-14 }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}1 & i \\ i & 2\end{bmatrix} }[/math], [math]\displaystyle{ B=\begin{bmatrix}2 & -i \\ i & 3\end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ B^*=\overline{B^t}=\begin{bmatrix}2 & i \\ -i & 3\end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ AB^*=\begin{bmatrix}3 & 4i \\ 0 & 5\end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lt A,B\gt =tr(AB^*)=8 }[/math]

ג. [math]\displaystyle{ \int_0^1f(x)g(x)dx=\int_0^1(x^2+2x+3)(x-2)dx\int_0^1(x^3+2x^2+3x -2x^2 -4x -6)dx=\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^2-6x\vert_0^1=-6\frac{1}{4} }[/math]

שאלה 1.5

מכפלה פנימית חייבת לקיים את התכונה [math]\displaystyle{ \lt v,v\gt =0 \iff v=0 }[/math]. ניקח לדוגמא [math]\displaystyle{ \lt (3,3),(3,3)\gt =(3-3)\overline{(3-3)}=0 }[/math] אבל כמובן [math]\displaystyle{ (3,3)\neq 0 }[/math]

שאלה 1.9

ב. [math]\displaystyle{ [A]_{ij}=\lt v_i,v_j\gt =\overline{\lt v_j,v_i\gt }=[\overline{A^t}]_{ij}=[A^*]_{ij} }[/math].

[math]\displaystyle{ [A]_{ii}=\lt v_i,v_i\gt \geq 0 }[/math] (אי שליליות)

ג.

ניקח [math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} }[/math]. ויוצא ש[math]\displaystyle{ \lt (1,0),(1,0)\gt =0 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ (1,0)\neq 0 }[/math] בסתירה לתכונות המכפלה.

שאלה 4.11

א. נניח [math]\displaystyle{ B=\{v_1,...,v_n\} }[/math] בא"נ. יהיה וקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] אזי יש הצגה [math]\displaystyle{ v=\alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ \lt v,v_i\gt =\lt \alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n,v_i\gt = \alpha_1\lt v_1,v_i\gt +...+\alpha_n\lt v_n,v_i\gt }[/math].

אבל [math]\displaystyle{ B }[/math] בא"נ ולכן [math]\displaystyle{ \gt \lt v_j,v_i\gt =0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] וכמו כן [math]\displaystyle{ \lt v_i,v_i\gt =1 }[/math] ולכן בסיכום:

[math]\displaystyle{ \lt v,v_i\gt =\alpha_i\lt v_i,v_i\gt =\alpha_i }[/math]

שאלה 1/2 4.12

נניח [math]\displaystyle{ P }[/math] אוניטרית, לכן [math]\displaystyle{ PP^*=I }[/math]. נזכר ש[math]\displaystyle{ P^*=\overline{P^t} }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ [PP^*]_{ij}=R_i(P)C_j(P^*)=R_i(P)\overline{R_j(P)}^t=\lt R_i(P),R_j(P)\gt }[/math]

נובע מזה ששורות [math]\displaystyle{ P }[/math] מהוות בא"נ אם"ם [math]\displaystyle{ PP^*=I }[/math].

כעת, [math]\displaystyle{ I=I^t=(PP^*)^t=\overline{P}P^t=(P^t)^*P^t }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ P }[/math] אוניטרית אם"ם [math]\displaystyle{ P^t }[/math] אוניטרית.

ולפי מה שראינו [math]\displaystyle{ P^t }[/math] אוניטרית אם"ם שורותיה הם בא"נ, אבל אלה בדיוק עמודות [math]\displaystyle{ P }[/math]

שאלה 4.22 ב'

[math]\displaystyle{ B=\{v_1=(4,-3,2,1),v_2=(3,-2,1,0),v_3=(2,-1,0,0),v_4=(1,0,0,0)\} }[/math]

[math]\displaystyle{ w_1=v_1=(4,-3,2,1) }[/math]

[math]\displaystyle{ w_2=v_2-\frac{\lt v_2,w_1\gt }{||w_1||^2}w_1=(\frac{1}{3},0,-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}) }[/math]

[math]\displaystyle{ w_3=v_3-\frac{\lt v_3,w_1\gt }{||w_1||^2}w_1-\frac{\lt v_3,w_2\gt }{||w_2||^2}w_2=(\frac{1}{5},\frac{1}{10},-\frac{2}{5},\frac{3}{10}) }[/math]

[math]\displaystyle{ w_4=v_4-\frac{\lt v_4,w_1\gt }{||w_1||^2}w_1-\frac{\lt v_4,w_2\gt }{||w_2||^2}w_2-\frac{\lt v_4,w_3\gt }{||w_3||^2}w_3=(\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{6},0) }[/math]

ועכשיו נותר לנרמל את הוקטורים על מנת לקבל בסיס אורתונורמלי: [math]\displaystyle{ \{\frac{1}{\sqrt{30}}(4,-3,2,1),\sqrt{\frac{3}{2}}(\frac{1}{3},0,-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}),\sqrt{\frac{10}{3}}(\frac{1}{5},\frac{1}{10},-\frac{2}{5},\frac{3}{10}),\sqrt{6}(\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{6},0)\} }[/math]