קוד:אופרטור נורמלי אם ורק אם צמוד לעצמו

\begin{remark}

יהי $\mathbb{F}=\mathbb{R}$. נניח ש-$p_T\left(x\right)$ מתפרק לגורמים לינאריים. אזי $T$ נורמלי אם ורק אם $T$ צמוד לעצמו.

בלי ההנחה על הפירוק של הפולינום האופייני, הטענה איננה נכונה; יש אופרטורים נורמליים שאינם צמודים לעצמם. ניתן דוגמה באמצעות מטריצות - עבור אופרטורים מגדירים את $L_A$, כפי שהגדרנו מספר פעמים בקורס.

עבור $A=\left ( \begin{matrix} 0 &1 \\ -1 &0 \end{matrix} \right )$, $A$ היא אנטי-סימטרית ($A^t=-A$).

$A$ נורמלית, כי $AA^t=A\left(-A \right )=-A^2=\left(-A \right )A=A^tA$, אבל הפולינום האופייני איננו מתפרק לגורמים לינאריים; $p_A\left(x\right)=x^2+1$.

כמו כן, $A$ איננה צמודה לעצמה, כדרוש.

\end{remark}