קוד:אסימפטוטות מאונכות ומשופעות

\subsection{מציאת אסימפטוטות מאונכות ומשופעות}

רוצים להבין כיצד הפונקציה $f$ מתנהגת בנקודות שבהן היא אינה מוגדרת ובשאיפה ל-$\pm\infty$.

\begin{definition}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה. \textbf{אסימפטוטה} היא קו ישר, כך שככל שמתרחקים מראשית הצירים, המרחק בין הישר לפונקציה שואף לאפס. יש שני סוגי אסימפטוטות שאנו מתעניינים בהן:

\begin{enumerate}

\item \textbf{אסימפטוטה מאונכת} או \textbf{אסימפטוטה אנכית} - היא מהצורה $x=a$, כאשר הפונקציה $f$ שואפת לאינסוף (או למינוס אינסוף) מימין, משמאל או משני הצדדים בנקודה $a$.

\item \textbf{אסימפטוטה משופעת} - היא מהצורה $y=ax+b$, כך ש-$\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0$ (או בשאיפה ל-$-\infty$). המקרה הזה מכליל את המקרה של \textbf{אסימפטוטה אופקית} המוכר מהתיכון, כאשר $a=0$.

\end{enumerate}

\end{definition}

\begin{remark} הדרך למציאת אסימפטוטות:

\begin{enumerate}

\item אסימפטוטות מאונכות - מסתכלים על הקצוות של תחום ההגדרה או בנקודות בודדות שבהן הפונקציה אינה מוגדרת, ובודקים את הגבולות בהם. למשל, אם הפונקציה מוגדרת לכל $x>2$ ו-$x\neq 4$, בודקים את הנקודות $2$ ו-$4$.

\item אסימפטוטות משופעות - צריך לבדוק גם עבור $\infty$ וגם עבור $-\infty$. הנוסחה לאסימפטוטה משופעת (למשל, באינסוף): $y=ax+b$ אסימפטוטה משופעת אם ורק אם $a=\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}}$ ו-$b=\displaystyle{\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax})$.

\end{enumerate}

\end{remark}