קוד:אפיון ערכים עצמיים

\begin{remark}

$A$ איננה הפיכה אם ורק אם $\det\left (A\right )=0$.

\end{remark}

\begin{thm}

$\lambda \in\mathbb{F}$ הוא ערך עצמי של מטריצה $A\in M_{n}(\mathbb{F})$ אם ורק אם $\det\left (\lambda I-A\right )=0$.

\end{thm}

\begin{proof}

$\lambda \in\mathbb{F}$ הוא ע"ע של $A$ $\Leftrightarrow$ קיים $v\ne 0$ כך ש-$Av=\lambda v$ $\Leftrightarrow$ קיים $v\ne 0$ כך ש-$\lambda v-Av=0$ $\Leftrightarrow$ קיים $v\ne 0$ כך ש-$\left (\lambda I-A\right )v=0$ $\Leftrightarrow$ המטריצה $\lambda I-A$ אינה הפיכה $\Leftrightarrow$ $\det(\lambda I-A)=0$.

\end{proof}

המשפט מאפשר לנו לחשב ערכים עצמיים מבלי לנסות לכפול וקטורים במטריצה בתקווה ש"ייצא טוב". לפי המשפט, כדי למצוא ערכים עצמיים של המטריצה נוכל לפתור את המשוואה $\det\left (\lambda I-A\right )=0$. זהו פולינום ממעלה $n$, ובהמשך נקרא לו "הפולינום האופייני" של $A$, והוא ישחק תפקיד חשוב בתיאוריה שלנו.