קוד:גרעין ותמונה עם פירוק לתתי מרחבים אינווריאנטיים

\begin{lem}

יהי $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$ סכום ישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים תחת האופרטור הלינארי $T:V\rightarrow V$. אזי מתקיים:

\begin{enumerate}

\item $\ker T=\ker T|_{U_1}\oplus\cdots\oplus\ker T|_{U_k}$

\item $\operatorname{im} T=\operatorname{im} T|_{U_1}\oplus\cdots\oplus \operatorname{im} T|_{U_k}$

\end{enumerate}

\end{lem}

\begin{proof}

כל $v\in V$ ניתן להצגה בצורה $v=u_1+\cdots+u_k$, כאשר $u_i\in U_i$ לכל $i=1,\dots,k$. לכן, $T\left (v \right )=T\left (u_1 \right )+\cdots+T\left (u_k \right )$. לכן $w=w_1+\cdots+w_k$, כאשר לכל $i=1,\dots,k$, מתקיים $w_i\in U_i$ כי $U_i$ אינווריאנטי. $$u_i\in\ker T|_{U_i}\Leftrightarrow\left(i=1,\dots,k \right )w_i=0\Leftrightarrow w=0\Leftrightarrow T\left(v \right )=0\Leftrightarrow v\in\ker T$$ $$w_i\in \operatorname{im} T|_{U_i}\Leftrightarrow w\in \operatorname{im} T$$

שני הסכומים הם ישרים, כי המחוברים הם תתי-מרחבים של $U_i$.

\end{proof}