קוד:דוגמאות לפולינומים מאפסים

\begin{example}

נראה שתי דוגמאות לפולינומים מאפסים.

\begin{enumerate}

\item עבור $A=I_k$, נסתכל על $f=x-1$. באופן ברור $f\neq 0$, וכן $f\left(A \right )=A-1\cdot I_k=I_k-I_k=0$. כלומר, $f$ פולינום מאפס ל-$A$.

\item עבור $$A=\left ( \begin{matrix} \lambda_1 &0 \\ 0 &\lambda_2 \end{matrix} \right )$$ נסתכל על הפולינום האופייני $f=p_A\left(x \right )=\det\left(xI-A\right)=\left(x-\lambda_1\right)\left(x-\lambda_2 \right )$. נציב את $A$: $$f\left(A\right)=A^2-\left(\lambda_1+\lambda_2 \right )A+\lambda_1\lambda_2I=$$ $$=\left ( \begin{matrix} \lambda_1^2 &0 \\ 0 &\lambda_2^2 \end{matrix} \right )- \left(\begin{matrix} \lambda_1^2+\lambda_1\lambda_2 &0 \\ 0 &\lambda_2^2+\lambda_1\lambda_2 \end{matrix} \right )- \left(\begin{matrix} \lambda_1\lambda_2 &0 \\ 0 &\lambda_1\lambda_2 \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix} 0 &0 \\ 0 &0 \end{matrix} \right )=0$$

\end{enumerate}

\end{example}

הדוגמה האחרונה מעניינת. נשאלת השאלה האם זהו צירוף מקרים, שהפולינום האופייני הוא מאפס של המטריצה, או שזה נכון רק למטריצות אלכסוניות (ואולי אפילו ללכסינות?). התשובה נתונה במשפט הבא, המוכיח שזה נכון תמיד.