קוד:דוגמאות לפולינומים מינימליים

\begin{example} נציג דוגאות לפולינום מינימלי.

\begin{enumerate}

\item אם $A=\lambda I_n$, אזי $m_A\left(x\right)=x-\lambda$.

\item אם $A=J_n\left(\lambda\right)$, אזי $m_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$.

\end{enumerate}

\end{example}

\begin{proof}

\begin{enumerate}

\item קל לראות כי $x-\lambda$ הוא פולינום מאפס ל-$\lambda I_n$, והוא בדרגה המינימלית האפשרית לפולינום מאפס. לכן, הוא פולינום מינימלי.

\item אם $A=J_n\left(\lambda\right)$, אזי $p_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$. לכן, הפולינום המינימלי הוא מהצורה $m_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^k$ עבור $1\leq k\leq n$ כלשהו. נציב את $A$, ונקבל $$m_A\left(A \right )=\left(A-\lambda I \right )^k={\underbrace{\left(\begin{matrix} 0 &1 & & 0\\

& 0 & \ddots & \\ 
&  & \ddots &1 \\ 

0 & & & 0 \end{matrix} \right )}_N}^k=N^k$$ על ידי חישוב, ניתן לוודא כי $N^2\neq0$, $N^3\neq 0$, וכן הלאה, עד ש-$N^{n-1}\neq 0$, אבל $N^n=0$. רוצים $m_A\left(A \right )=N^k=0$, כלומר $n\leq k$. אבל גם אמרנו $1\leq k\leq n$. לכן, $k=n$, ומכאן מקבלים הדרוש.

\end{enumerate}

\end{proof}