קוד:הבסיס הדואלי הוא בסיס

נוודא כעת שהבסיס הדואלי הוא אכן בסיס.

\begin{description}

\item[בת"ל] נניח כי $\alpha_1\varphi_1+\cdots+\alpha_n\varphi_n=0$.

נתבונן בערך של שני הצדדים עבור הווקטור $v_i$: $$\alpha_1\underbrace{\varphi_1\left(v_i \right )}_{0} +\cdots+ \alpha_i\underbrace{\varphi_i\left(v_i \right )}_{1} +\cdots+ \alpha_n\underbrace{\varphi_n\left(v_i \right )}_{0} =0\Rightarrow\alpha_i=0$$

לכן $B^*$ בת"ל. $\dim V^*=n$, וכן $\left|B^*\right|=n$, ולכן $B^*$ בסיס של $V^*$. בעיקרון, נוכל להפסיק פה, אך כעת, באמצעות הפרישה, נפתח נוסחה חשובה:

\item[פורשת] אם $\varphi\in V^*$, אזי $\varphi=\varphi\left(v_1 \right )\varphi_1+\cdots+\varphi\left(v_n \right )\varphi_n$.

בדיקה: נציב $v_i$ בשני הצדדים, ונקבל: $$\varphi\left(v_1 \right )\underbrace{\varphi_1\left(v_i \right )}_{0} +\cdots+ \varphi\left(v_i \right )\underbrace{\varphi_i\left(v_i \right )}_{1} +\cdots+ \varphi\left(v_n \right )\underbrace{\varphi_n\left(v_i \right )}_{0} =\varphi\left(v_i \right )$$

אם כן, נקבל נוסחה חשובה נוספת: $$\left[\varphi \right ]_{B^*}=\left(\begin{matrix} \varphi\left(v_1 \right )\\ \vdots\\ \varphi\left(v_n \right ) \end{matrix} \right ) $$

\end{description}