קוד:הגדרת דמיון מטריצות

\begin{definition}

אומרים שמטריצה $A$ \textbf{דומה} למטריצה $B$ אם קיימת מטריצה הפיכה $P$ שעבורה מתקיים $B=P^{-1}AP$. מסמנים זאת $A\sim B$.

\end{definition}

\begin{remark}

דמיון הוא יחס שקילות, כלומר הוא:

\begin{enumerate}

\item\underline{רפלקסיבי} - $A\sim A$.

\begin{proof}

ניקח $P=I$ ונקבל את הדרוש.

\end{proof}

\item\underline{סימטרי} - אם $A\sim B$ אזי $B\sim A$.

\begin{proof}

אם $B=P^{-1} AP$ אזי $A=PBP^{-1}$.

\end{proof}

\item\underline{טרנזיטיבי} - אם $A\sim B$ וגם $B\sim C$ אזי $A\sim C$.

\begin{proof}

אם $B=P^{-1}AP$ וגם $C=Q^{-1}BQ$ אזי $C=Q^{-1}P^{-1}APQ=\left(PQ\right)^{-1}A\left(PQ\right)$.

\end{proof}

\end{enumerate}

\end{remark}