קוד:ההפרש בין הווקטור להיטלו

בתחילת הנושא של ההיטל, כאשר הצדקנו את ההגדרה, אמרנו שהרעיון הוא לפרק את $v$ לשני וקטורים: $v=\pi_B\left(v\right)+w'$, כאשר $w'\in W^\perp$. הגענו להגדרה של היטל, וכעת - הגיע הזמן לבדוק את ההנחה הזו, כלומר האם ההגדרה באמת מקיימת את מה שרצינו.

\begin{remark}

$v-\pi_B\left(v\right)\in W^\perp$.

\end{remark}

\begin{proof}

יהי $u\in W$. נבדוק האם מתקיים התנאי $\left \langle v-\pi_B\left(v \right ),u \right \rangle=0$.

נציג את $u$ כצירוף לינארי של איברי $B$: $$u=\alpha_1w_1+\cdots+\alpha_kw_k$$ אם כן, $$\left \langle v,u \right \rangle=\overline{\alpha}_1\left \langle v,w_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_k\left \langle v,w_k \right \rangle$$

מצד שני, מתקיים: $$\left \langle\pi_B\left(v \right ),u \right \rangle= \frac{\left \langle v,w_1 \right \rangle}{\left \| w_1 \right \|^2}\overline{\alpha}_1\left \| w_1 \right \|^2+\cdots+\frac{\left \langle v,w_k \right \rangle}{\left \| w_k \right \|^2}\overline{\alpha}_k\left \| w_k \right \|^2=$$ $$=\overline{\alpha}_1\left \langle v,w_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_k\left \langle v,w_k \right \rangle$$

לכן נקבל $\left \langle v-\pi_B\left(v \right ),u \right \rangle=0$.

\end{proof}

\begin{remark}

$v-\pi_B\left(v\right)\in B^\perp$.

\end{remark}

\begin{proof}

באמצעות ההערה הקודמת בצירוף $\operatorname{Span}\left(B\right)=W$ ו-$\left(\operatorname{Span}\left(S \right ) \right )^\perp=S^\perp$.

\end{proof}