קוד:הוכחת משפט ז'ורדן הנילפוטנטי

\begin{proof}[הוכחת משפט ז'ורדן הנילפוטנטי]

\textit{לא לבעלי לב חלש!}

נניח כי $T:V\rightarrow V$ אופרטור נילפוטנטי מסדר $k$. נשים לב ש-$\operatorname{im}\left(T^{k-1}\right)\subseteq\ker T$, ולכן $$\operatorname{im}\left(T^{k-1} \right )\subseteq \operatorname{im}\left(T^{k-2} \right )\cap\ker T\subseteq \operatorname{im}\left(T^{k-3} \right )\cap\ker T\subseteq\cdots\subseteq\ker T$$ ניקח בסיס $T^{k-1}\left(v_1 \right ),\dots,T^{k-1}\left(v_{r_1} \right )$ של $\operatorname{im}\left(T^{k-1}\right)$.

נשלים אותו לבסיס עבור $\operatorname{im}\left(T^{k-2} \right )\cap\ker T$ על ידי הוספת הווקטורים $$T^{k-2}\left(v_{r_1+1} \right ),\dots,T^{k-2}\left(v_{r_2} \right )$$ נשלים את הבסיס שקיבלנו לבסיס עבור $\operatorname{im}\left(T^{k-3} \right )\cap\ker T$ על ידי הוספת הווקטורים $$T^{k-3}\left(v_{r_2+1} \right ),\dots,T^{k-3}\left(v_{r_3} \right )$$ נמשיך באותו האופן עד שנקבל בסיס של $\ker T$, שיהיה מהצורה (המפחידה) $$T^{k-1}\left(v_1 \right ),\dots,T^{k-1}\left(v_{r_1} \right ),T^{k-2}\left(v_{r_1+1} \right ),\dots,T^{k-2}\left(v_{r_2} \right ),\dots,$$ $$T\left(v_{r_{k+2}+1} \right ),\dots,T\left(v_{r_{k-1}} \right ),v_{r_{k-1}+1},\dots,v_{r_k}$$ (שימו לב שזה בסיס ל-$\ker T$ ולא לכל $V$, ולכן הוא לא הבסיס המז'רדן)

אמרנו שכדי שהמטריצה המייצגת תהיה בלוק ז'ורדן, חייבים שהבסיס יהיה מסלול. אם אנחנו רוצים מטריצה אלכסונית בלוקים כך שכל בלוק הוא בלוק ז'ורדן, צריכים איחוד של מסלולים. אם כן, נוכיח שאיחוד המסלולים הבא מהווה בסיס של $V$ (זהירות - מפלצת):

$$\{T^{k-1}\left(v_1 \right ),\dots,T\left(v_1 \right ),v_1,\dots,T^{k-1}\left(v_{r_1} \right ),\dots,T\left(v_{r_1} \right ),v_{r_1},$$ $$T^{k-2}\left(v_{r_1+1} \right ),\dots,T\left(v_{r_1+1} \right ),v_{r_1+1},\dots,T^{k-2}\left(v_{r_2} \right ),\dots,T\left(v_{r_2} \right ),v_{r_2},$$ $$\cdots$$ $$T\left(v_{r_{k-2}+1} \right ),v_{r_{k-2}+1},\dots,T\left(v_{r_{k-1}} \right ),\dots,v_{r_{k-1}},$$ $$v_{r_{k-1}+1},\dots,v_{r_k}\}$$

\begin{description}

\item[בת"ל] ניקח צירוף לינארי מתאפס $$\left(\star \right )\quad\sum_{i=1}^k\sum_{d=1}^i\sum_{j=r_{d-1}+1}^{r_d}\alpha_{ij}T^{i-d}\left(v_j \right )=0$$ נפעיל $T^{k-1}$ על שני האגפים. כמעט כל הווקטורים יתאפסו לפי בנייתם, ונקבל כי $$\alpha_{11}T^{k-1}\left(v_1 \right )+\cdots+\alpha_{1r_1}T^{k-1}\left(v_{r_1} \right )=0$$ אבל זהו צירוף של איברי בסיס של $\operatorname{im} T^{k-1}$, ולכן כל מקדמי השורה הראשונה מתאפסים; $$\alpha_{11}=\cdots=\alpha_{1r_1}=0$$ נחזור ל-$\left(\star\right)$. קיבלנו $$\left(\star\star \right )\quad\sum_{i=2}^k\sum_{d=1}^i\sum_{j=r_{d-1}+1}^{r_d}\alpha_{ij}T^{i-d}\left(v_j \right )=$$ $$=\sum_{i=1}^k\sum_{d=1}^i\sum_{j=r_{d-1}+1}^{r_d}\alpha_{ij}T^{i-d}\left(v_j \right )=0$$ באופן דומה נוכל להפעיל $T^{k-2}$, ולקבל כי כל מקדמי השורה השנייה מתאפסים; $\alpha_{21}=\cdots=\alpha_{2r_2}=0$.

נמשיך באותו האופן, להראות שלכל $i=1,\dots,k$, מקדמי השורה ה-$i$ מתאפסים. לכן, כל המקדמים הם $0$. הוכחנו בת"ל!

\item[פורשת] לכל $m=1,\dots,k-1$, הבסיס שבחרנו עבור $\operatorname{im} T^m\cap\ker T$ מוכל ב-$T^m\left[B\right]$, ובפרט ב-$T^m\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$, שהוא תת-מרחב. לכן, $$\operatorname{im} T^m\cap\ker T\subseteq T^m\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$ יהי $v\in V$. אזי $T^{k-1}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{k-1}\subseteq \operatorname{im} T^{k-1}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$.

\begin{description}

\item[טענת עזר:] לכל $m=1,\dots,k-1$, אם $T^m\left(v\right)\in T^m\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$ , אזי $$T^{m-1}\left(v\right)\in T^{m-1}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$

\item[הוכחה:] יהי $u\in \operatorname{Span}\left(B\right)$ שעבורו $T^m\left(u \right )=T^m\left(v \right )$. לכן, $$T\left(T^{m-1}\left(v \right )-T^{m-1}\left(u \right ) \right )=0$$ אם כן, $$T^{m-1}\left(v \right )-T^{m-1}\left(u \right )\in \operatorname{im} T^{m-1}\cap\ker T\subseteq T^{m-1}\left[\operatorname{Span}\left(B \right ) \right ]$$

אבל $T^{m-1}\left(u \right )\in T^{m-1}\left[\operatorname{Span}\left(B \right ) \right ]$, ולכן $T^{m-1}\left(v \right )\in T^{m-1}\left[\operatorname{Span}\left(B \right ) \right ]$, כדרוש.

\end{description}

ידוע $$T^{k-1}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{k-1}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$ לכן, לפי טענת העזר, $$T^{k-2}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{k-2}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$ מכאן $$T^{k-3}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{k-3}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]$$ וכן הלאה, עד שמגיעים לכך שמתקיים $$v=T^{0}\left(v\right)\in \operatorname{im} T^{0}\left[\operatorname{Span}\left(B\right)\right]=\operatorname{Span}\left(B\right)$$ כדרוש.

\end{description}

\end{proof}