קוד:הטלה איננה מושפעת מכפל בסקלר בבסיס

הגדרנו הטלה, וכעת נוכיח שאם כופלים את האיברים בבסיס בסקלרים (שונים מאפס), ההטלה על תת-המרחב איננה משתנה. בעתיד, נוכיח שגם אם נשנה את הבסיס לגמרי, ההטלה לא תושפע.

\begin{remark}

אם נחליף כל וקטור $w_i$ בבסיס על ידי וקטור פרופורציונאלי $\alpha_iw_i$ (כאשר $\alpha_i\neq 0$, כדי שיישאר בסיס), אזי $\pi_B\left(v\right)$ לא ישתנה.

\end{remark}

\begin{proof}

נתבונן במחובר ה-$i$-י, ונראה שהוא איננו משתנה: $$\frac{\left \langle v,\alpha_iw_i \right \rangle}{\left \| \alpha_iw_i \right \|^2}\alpha_iw_i=\frac{\overline{\alpha_i}\left \langle v,w_i \right \rangle}{\left | \alpha_i \right |^2\left \| w_i \right \|^2}\alpha_iw_i=\frac{\left \langle v,w_i \right \rangle}{\left \| w_i \right \|^2}w_i$$

\end{proof}