קוד:הטלה של וקטור על תת-מרחב אינה תלויה בבסיס

כאשר הגדרנו הטלת וקטור על תת-מרחב, ההגדרה הייתה תלויה בבסיס. כעת, לאחר שהוכחנו את משפט הפירוק הניצב, נוכל להוכיח שאין תלות בבסיס.

\begin{remark}

תהי $\pi_B:V\rightarrow U$ העתקה ההטלה על תת-המרחב $U$, כאשר $B$ בסיס אורתוגונלי של $U$. נתבונן בבסיס אורתוגונלי אחר, $B'$, של $U$, ובהעתקת ההטלה המתאימה $\pi_{B'}$.

יהי $v\in V$. אזי הן $\pi_B\left(v\right)$ והן $\pi_{B'}\left(v\right)$ שייכים ל-$U$.

לפי הערה שהוכחנו, $v-\pi_B\left(v \right ),v-\pi_{B'}\left(v \right )\in U^\perp$. מתקיים: $$v=\underbrace{\pi_B\left(v \right )}_{\in U}+\underbrace{\left(v-\pi_B\left(v \right ) \right )}_{\in U^\perp}$$ $$v=\underbrace{\pi_{B'}\left(v \right )}_{\in U}+\underbrace{\left(v-\pi_{B'}\left(v \right ) \right )}_{\in U^\perp}$$

לכן, ממשפט הפירוק הניצב, נקבל $\pi_B\left(v \right )=\pi_{B'}\left(v \right )$.

\end{remark}

\begin{corollary}

ההיטל $\pi_B\left(v\right)$ של וקטור $v$ על תת-המרחב $U$ אינו תלוי בבחירה של הבסיס האורתוגונלי $B$ של $U$.

\end{corollary}