קוד:היחס בין הריבויים של ערך עצמי

כעת ננסה להבין מה היחס בין הריבויים של ע"ע, האלגברי והגיאומטרי. הכוונה - האם הם שווים, ואם לא - מי גדול יותר.

\begin{thm}

לכל $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של אופרטור לינארי $T:V\rightarrow V$, מתקיים $1\leq m_\lambda\leq k_\lambda\leq n$.

\end{thm}

\begin{proof}

נתבונן ב-$V_\lambda\left(T \right )$, ונסמן $m=m_\lambda=\dim V_\lambda\left(T \right )$. נבחר בסיס $\left \{ v_1,\dots,v_m \right \}$ של $V_\lambda\left(T \right )$. אם $m<n$, נשלים את הבסיס הזה לבסיס $B$ של $V$: $\left \{ v_1,\dots,v_m,v_{m+1},\dots,v_n \right \}$. תהי $A=\left[T\right]_B$. מתקיים: $$T\left(v_1\right)=\lambda v_1,\cdots,T\left(v_m \right )=\lambda v_m,T\left(v_m+1 \right )=?,\cdots,T\left(v_n \right )=?$$ אם כן, המטריצה $A$ הינה מהצורה $$A=\left( \begin{array}{c|c} \begin{matrix} \lambda & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & \lambda \end{matrix} & A_2\\ \hline 0 & A_1 \end{array}\right)$$

נסתכל על הפולינום האופייני של $T$: $$p_T\left(x \right )=p_A\left(x \right )=\det\left(xI-A\right)=\det\left( \begin{array}{c|c} \begin{matrix} x-\lambda & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & x-\lambda \end{matrix} & -A_2\\ \hline 0 & xI-A_1 \end{array}\right)=$$ $$=\det\left( \begin{matrix} x-\lambda & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & x-\lambda \end{matrix}\right )\det\left(xI-A \right )=\left(x-\lambda \right )^mg\left(x \right )$$ אם כן, $k_\lambda\ge m=m_\lambda$.

\end{proof}

\begin{remark}

יש מקרים שבהם $m_\lambda<k_\lambda$. למשל - בלוק ז'ורדן; עבור $J_n\left(\lambda\right)$, ראינו כי $m_\lambda=1$, אבל $k_\lambda=n$.

\end{remark}

בהמשך ננסה להבין מתי לכל ע"ע הריבויים שווים, ונגלה כי הם שווים אם ורק אם המטריצה לכסינה.