קוד:המרחק המושרה מנורמה

\begin{remark}

המרחק המושרה על ידי הנורמה הוא $\rho\left(x,y\right)=\left\|x-y\right\|$.

\end{remark}

\begin{proof}

נוכיח שזה אכן מרחק.

\begin{enumerate}

\item\underline{אי-שליליות} - נובע ישירות מהאקסיומה הראשונה של נורמה.

\begin{enumerate} נורמה היא אי-שלילית, ולכן המרחק המושרה הוא אי-שלילי.

\end{enumerate} $$\rho\left(x,y \right )=0\Leftrightarrow\left \| x-y \right \|=0\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y$$

\item\underline{סימטריות} - לכל $x,y\in V$, $$\rho\left(x,y \right )=\left\|x-y\right\|=\left \| \left ( -1 \right )\left(y-x \right ) \right \|=\left|-1\right|\left \| y-x \right \|=\rho\left(y,x \right )$$

\item\underline{אי-שוויון המשולש} - לכל $x,y,z\in V$, $$\rho\left(x,z \right )=\left \| x-z \right \|=\left \| \left(x-y \right )+\left(y-z \right ) \right \|\leq\left \| x-y \right \|+\left \| y-z \right \|=\rho\left(x,y\right)+\rho\left(y,z \right )$$

\end{enumerate}

\end{proof}