קוד:הפולינום האופייני מחלק חזקה של כל מאפס

\begin{thm}

יהי $f\in\mathbb{F}\left[x\right]$ פולינום מאפס למטריצה $A\in M_n\left(\mathbb{F}\right)$, ונניח $\deg\left(f\right)\leq n$. אזי $p_A\left(x\right)|\left[f\left(x\right)\right]^n$.

\end{thm}

\begin{proof}

נחפש מטריצות ריבועיות $B_0,\dots,B_{n-1}\in M_n\left(\mathbb{F} \right )$ שעבורן $$B\left(x\right)=B_0+B_1x+\cdots+B_{n-1}x^{n-1}$$ מקיימת את המשוואה הבאה: $$\left(\star\right)\left(xI-A \right )\cdot B\left(x \right )=f\left(x \right )\cdot I$$ נסמן $f\left(x \right )=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$. נשווה את המקדמים לפני החזקות של x:

\begin{tabular}{c | c | c | c | c | c | c} $x^0$ & $x^1$ & $x^2$ & $\cdots$ & $x^{n-1}$ & $x^n$ \\\hline $-AB_0$ & $B_0-AB_1$ & $B_1-AB_2$ & $\cdots$ & $B_{n-2}-AB_{n-1}$ & $B_{n-1}$ & שמאל\\ $a_0I$ & $a_1I$ & $a_2I$ & $\cdots$ & $a_{n-1}I$ & $a_nI$ & ימין \end{tabular}

משוויון המקדמים שאנו מחפשים, נקבל $$B_{n-1}=a_nI,B_{n-2}=a_{n-1}I+AB_{n-1},\dots,B_1=a_2I+AB_2,B_0=a_1I+AB_1$$ אם נכפול את המקדם של $x^i$ ב-$A^i$, ונחבר את הכל, נקבל $0=0$. מכאן שהמשוואה הראשונה מתקיימת גם כן. נפעיל דטרמיננטה על $\left(\star \right )$: $$\det\left[\left(xI-A \right )B\left(x \right ) \right ]=\det\left(f\left(x \right )I \right )$$ על פי כפליות הדטרמיננטה, נקבל $$\det\left(xI-A \right )\det B\left(x \right )=\det\left(\begin{matrix} f\left(x \right ) & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & &f\left(x \right ) \end{matrix} \right )$$

נסמן $\det B\left(x\right)=g\left(x\right)$. אזי $p_A\left(x \right )g\left(x \right )=\left[f\left(x \right ) \right ]^n$, כלומר $p_A\left(x \right )|\left[f\left(x \right ) \right ]^n$, כדרוש.

\end{proof}

כעת נוכל לקבל את המסקנה שרצינו לגבי השורשים של הפולינום המינימלי. נזכור כי הפולינום המינימלי הוא פולינום מאפס שדרגתו לכל היותר $n$, ונקבל את המסקנה הבאה:

\begin{cor}

$$m_A\left(x \right )|p_A\left(x \right )|\left[m_A\left(x \right ) \right ]^n$$

\end{cor}

\begin{cor}

ל-$p_A\left(x\right)$ ול-$m_A\left(x\right)$ יש אותם הגורמים האי-פריקים. לכן, יש להם אותם השורשים.

\end{cor}