קוד:הקשר בין הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים של מטריצה והצמודה

נניח שיש לנו מטריצה נורמלית. ננסה לבדוק מהו הקשר בין הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים שלה לבין אלו של המטריצה הצמודה לה.

\begin{thm}

אם $A$ מטריצה נורמלית, $\lambda$ ערך עצמי של $A$ ו-$v$ וקטור עצמי של $A$ הקשור ל-$\lambda$, אזי $v$ הוא גם וקטור עצמי של $A^*$ הקשור ל-$\overline{\lambda}$.

\end{thm}

\begin{proof}

נתון כי $A$ נורמלית. נוכיח כי $\lambda I-A$ גם היא נורמלית: $$\left(\lambda I-A \right )\left(\lambda I-A \right )^*=\left(\lambda I-A \right )\left(\overline{\lambda}I-A^* \right )=\lambda\overline{\lambda}I-\overline{\lambda}AI-\lambda IA^*+AA^*=\left | \lambda \right |^2-\overline{\lambda}A-\lambda A^*+AA^*$$ $$\left(\lambda I-A \right )^*\left(\lambda I-A \right )=\left(\overline{\lambda}I-A^* \right )\left(\lambda I-A \right )=\overline{\lambda}\lambda I-\lambda A^*I-\overline{\lambda}IA+A^*A=\left | \lambda \right |^2-\overline{\lambda}A-\lambda A^*+A^*A$$ ויש שוויון בין שני הביטויים, כי $A$ נורמלית.

אם כן, מתקיים: $$Av=\lambda v\Rightarrow\left(\lambda I-A \right )v=0\Rightarrow\left \| \left(\lambda I-A \right )v \right \|=\left \| 0 \right \|=0$$ אבל $\lambda I-A$ נורמלית, ולכן מתקיים: $$\left \| \left(\lambda I-A \right )v \right \|=0\Rightarrow\left \| \left(\lambda I-A \right )^*v \right \|=0\Rightarrow\left(\lambda I-A \right )^*v=0\Rightarrow\left(\overline{\lambda}I-A^* \right )v=0\Rightarrow A^*v=\overline{\lambda}v$$

\end{proof}