קוד:וקטורים עצמיים הקשורים לערכים עצמיים שונים

נשאלת השאלה מה הקשר בין וקטורים עצמיים הקשורים לערכים עצמיים שונים. במילים אחרות, מה הקשר בין המרחבים העצמיים של מטריצה (או של אופרטור).

\begin{thm}

ו"ע הקשורים לע"ע שונים הם בת"ל.

\end{thm}

\begin{proof}

יהיו $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ ע"ע שונים, ונסמן $v_1,\dots,v_s$ הקשורים ל-$\lambda_1,\dots,\lambda_s$ בהתאמה. נוכיח $\left \{ v_1,\dots,v_s \right \}$ בת"ל. בשלילה, נניח ש-$\left \{ v_1,\dots,v_s \right \}$ ת"ל. אם כן, קיימת לה תת-קבוצה ת"ל מינימלית, נסמנה $\left \{ v_1,\dots,v_t \right \}$.

ניקח צירוף לינארי $\left ( 1 \right )\quad\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_t v_t=0$, כאשר קיים $1\leq i\leq t$ שעבורו $\alpha_i\neq 0$. נפעיל את האופרטור $T$: $T\left (\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_t v_t \right )=T\left (0 \right )$. אבל אלו וקטורים עצמיים, ולכן $\left ( \star \right )\quad\alpha_1\lambda_1v_1 +\cdots+\alpha_t\lambda_tv_t=0$.

נחזור ל-$\left(1\right)$, ונכפול את המשוואה ב-$\lambda_t$: $\left ( \star\star \right )\quad\alpha_1\lambda_tv_1 +\cdots+\alpha_t\lambda_tv_t=0$.

נחסר $\left ( \star \right )-\left ( \star\star \right )$. נקבל את המשוואה $\alpha_1\left(\lambda_1-\lambda_t\right )v_1 +\cdots+\alpha_t\left(\lambda_{t-1}-\lambda_t\right )v_t=0$.

כיוון ש-$t-1<t$, ותת-הקבוצה $\left \{ v_1,\dots,v_t \right \}$ היא הקטנה ביותר ות"ל, כל המקדמים בצירוף הלינארי מתאפסים, כלומר $$\left\{\begin{matrix} \alpha_1\left(\lambda_1-\lambda_t \right )=0\\ \vdots\\ \alpha_{t-1}\left(\lambda_{t-1}-\lambda_t \right )=0 \end{matrix} \right.$$ כל הע"ע שונים, לכן $\alpha_1=\cdots=\alpha_{t-1}=0$. נציב ב-$\left(1\right)$, ונקבל $\alpha_t v_t=0$. אבל $v_t\neq 0$, ולכן $\alpha_t=0$.

לסיכום, קיבלנו שאם $\left ( 1 \right )\quad\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_t v_t=0$, אזי $\alpha_1=\cdots=\alpha_t=0$, בסתירה להיות הקבוצה ת"ל.

לכן $\left \{ v_1,\dots,v_s \right \}$ בת"ל, כדרוש.

\end{proof}