קוד:כל בסיס של המרחב הדואלי הוא דואלי לבסיס כלשהו

\begin{corollary}

כל בסיס של $V^*$ הוא דואלי לבסיס של $V$.

\end{corollary}

\begin{proof}

יהי $B'$ בסיס של $V^*$, נסמן $B'=\left\{\varphi_1,\dots,\varphi_n\right\}$. נתבונן בבסיס $B=\left\{e_1,\dots,e_m\right\}$ של $V^{**}$ הדואלי ל-$B'$. ז"א, מתקיים $e_i\left(\varphi_j\right)=\delta_{ij}$. נגדיר $v_i=E^{-1}\left(e_i\right)$, כאשר $E^-1:V^{**}\rightarrow V$ הוא האיזומורפיזם ההפוך ל-$E$ שהגדרנו. נגדיר $B=\left\{v_1,dots,v_n\right\}$, ונוכיח $B^*=B'$. אכן, מתקיים $$\varphi_j\left(v_i \right )=\hat{v_i}\left(\varphi_j \right )=e_i\left(\varphi_j \right )=\delta_{ij}$$

\end{proof}