קוד:לכסון אוניטרי של אופרטורים

הגענו למשפט הלכסון האוניטרי.

\begin{thm}

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי. אזי קיים בסיס אורתונורמלי $B$ של $V$ כך שהמטריצה המייצגת $A=\left[T\right]_B$ אלכסונית אם ורק אם הפולינום האופייני $p_T\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים, וכן $T$ נורמלית.

\end{thm}

\begin{proof}

\begin{description}

\item[$\boxed{\Rightarrow}$] נניח ש-$p_T\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים וש-$T$ נורמלי. $p_T\left(x\right)$ מתפרק לחלוטין, ולכן $T$ ניתן לשילוש אוניטרי, ז"א שקיים בסיס אורתונורמלי $B$ של $V$ כך ש-$A=\left[T\right]_B$ משולשת. המטריצה $A$ משולשת, על פי הבנייה, וגם נורמלית (כי $B$ אורתונורמלי), ולכן לפי הלמה הקודמת, $A$ אלכסונית, כדרוש.

\item[$\boxed{\Leftarrow}$] $T$ ניתן ללכסון אוניטרי, אז הוא גם ניתן לשילוש אוניטרי, ולכן $p_T\left(x\right)$ מתפרק לחלוטין. אם כן, נותר להוכיח ש-$T$ נורמלי.

מספיק להוכיח שאם $B$ בסיס אורתונורמלי של $V$ כך ש-$A=\left[T\right]_B$ אלכסונית, אזי $A$ נורמלית. $A$ אלכסונית, לכן $A^*=\overline{A}^t$ גם אלכסונית, ולכן $AA^*=A^*A$, כי מטריצות אלכסוניות מתחלפות זו עם זו.

\end{description}

\end{proof}