קוד:מטריצה מייצגת יחסית למסלול

\begin{lem}

יהי $E$ בסיס של $V$. אזי $\left[T\right]_E=J_n\left(0 \right )$ אם ורק אם $$E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \}$$ כאשר $T^n\left(v\right)=0$.

\end{lem}

\begin{proof}

\begin{description}

\item[$\boxed{\Leftarrow}$]

נניח $E=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס שעבורו $\left[T\right]_B=J_n\left(0\right)$. אזי $$\left[T \right ]_E=\left(\left[T\left(v_1 \right ) \right ]_E,\dots,\left[T\left(v_n \right ) \right ]_E \right )=\left(0,e_1,\dots,e_{n-1} \right )$$ לפי שוויון כל עמודה בנפרד, נקבל: $$\left[T\left(v_1 \right ) \right ]_E=0\Rightarrow T\left(v_1 \right )=0$$ $$\left[T\left(v_2 \right ) \right ]_E=e_1$$ $$\vdots$$ $$\left[T\left(v_n \right ) \right ]=e_{n-1}$$ נגדיר $v=v_n$. אזי נקבל: $$\left[T\left(v \right ) \right ]_E=e_{n-1}=\left[v_{n-1} \right ]_E\Rightarrow T\left(v \right )=v_{n-1}$$ $$\left[T^2\left(v \right ) \right ]_E=e_{n-2}=\left[v_{n-2} \right ]_E\Rightarrow T^2\left(v \right )=v_{n-2}$$ $$\vdots$$ $$\left[T^{n-1}\left(v \right ) \right ]_E=e_1=\left[v_1 \right ]_E\Rightarrow T^{n-1}\left(v \right )=v_1$$ $$\left[T^n\left(v \right ) \right ]_E=0\Rightarrow T^n\left(v \right )=0$$ ולכן $E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \}$, כדרוש.

\item[$\boxed{\Rightarrow}$]

נניח ש-$E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \}$. נחשב את המטריצה המייצגת $\left[T\right]_E$:

$T\left(T^{n-1}\left(v \right ) \right )=T^n\left(v \right )=0$, ולכן העמודה הראשונה במטריצה המייצגת היא $0$.

$T\left(T^{n-2}\left(v \right ) \right )=T^{n-1}\left(v \right )$, ולכן העמודה השנייה היא $e_1$.

באופן דומה ניתן להמשיך ולקבל $\left[T\right]_E=J_n\left(0 \right )$.

\end{description}

\end{proof}