קוד:מטריצות גראם תחת שינוי בסיס

ננסה כעת לבדוק מה קורה למטריצת גראם, אם משנים את הבסיס שבו אנו עובדים.

יהיו $B,B'$ בסיסים של $V$, $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$, וכן $B'=\left \{ v_1',\dots,v_n' \right \}$. נסמן ב-$G,G'$ את מטריצות גראם של המכפלה הפנימית $\left\langle\quad,\quad\right\rangle$ יחסית לבסיסים $B,B'$ בהתאמה.

\begin{thm}

תהי $C$ מטריצת המעבר מ-$B'$ ל-$B$. אזי $G'=C^tG\overline{C}$, כאשר $\overline{C}$ = הצמדת כל האיברים במטריצה $C$.

\end{thm}

\begin{proof}

יהי $v\in V$, $B,B'$ בסיסים ו-$C$ מטריצת המעבר מ-$B'$ ל-$B$. אזי $\left[v \right ]_B=C\left[v \right ]_{B'}$, כלומר $\left[v \right ]_B^t=\left[v \right ]_{B'}^tC^t$.

מצד אחד, $B'$ בסיס, ולכן $\left \langle v,w \right \rangle=\left[v \right ]_{B'}^tG'\overline{\left[w \right ]_{B'}}$. עם זאת, גם $B$ בסיס, ולכן $\left \langle v,w \right \rangle=\left[v \right ]_B^tG\overline{\left[w \right ]_B}=\left[v\right]_{B'}^tC^tG\overline{C}\;\overline{\left[w \right ]_{B'}}$.

בסך הכל, $G'=C^tG\overline{C}$, כדרוש.

\end{proof}