קוד:מימד המרחב העצמי המוכלל

אחת הנקודות ש"דחקנו" הצידה היא מהו המימד של $K_\lambda$. בלמה הקודמת השתמשנו בו מבלי לקרוא לו בשם. נזכור כי המרחב העצמי המוכלל מכיל את המרחב העצמי, ולכן מימדו חייב להיות גדול (או שווה) לריבוי הגיאומטרי. בלמה הקרובה נראה כי המימד הוא בדיוק הריבוי האלגברי של $\lambda$.

\begin{lem}

$\dim K_\lambda$ שווה לריבוי האלגברי של $\lambda$.

\end{lem}

\begin{proof}

נסמן $B$ ו-$B'$ בסיסים של $K_\lambda$ ושל $I_\lambda$ בהתאמה. נגדיר $\tilde{B}=B\cup B'$ (איחוד זר), $\tilde{B}$ בסיס של $V$. אם כן, $$\left[T \right ]_{\tilde{B}}=\left(\begin{matrix} \left[T \right ]_B &0 \\ 0 & \left[T \right ]_{B'} \end{matrix} \right )$$ ולכן $p_T\left(x \right )=p_{T|_{K_\lambda}}\left(x \right )\cdot p_{T|_{I_\lambda}}\left(x \right )$. לכן, לפי הלמה הקודמת, אם נסמן $m=\dim K_\lambda$, נקבל $$p_T\left(x \right )= p_{T|_{K_\lambda}}\left(x \right )\cdot p_{T|_{I_\lambda}}\left(x \right )= \left(x-\lambda \right )^m\cdot p_{T|_{I_\lambda}}\left(x \right )$$ נותר להוכיח ש-$\lambda$ איננו שורש של $p_{T|_{I_\lambda}}\left(x \right )$. אנו יודעים כי $\left\{0 \right \}\subseteq V_\lambda\subseteq K_\lambda\subseteq V$, והוכחנו כי $K_\lambda\cap I_\lambda=\left\{0\right\}$. לכן, גם $V_\lambda\cap I_\lambda=\left\{0\right\}$. כלומר, אין וקטור עצמי הקשור ל-$\lambda$ ב-$I_\lambda$, ומכאן ששום ערך עצמי של האופרטור $T|_{I_\lambda}$ איננו שווה ל-$\lambda$. לכן, $\left(x-\lambda\right)$ אינו מחלק את הפולינום האופייני $p_{T|_{I_\lambda}}\left(x \right )$.

אם כן, $m$ הוא הריבוי האלגברי של $\lambda$, כדרוש.

\end{proof}