קוד:מסלול פורש מרחב אינווריאנטי

הראינו כי אנחנו חייבים לחלק את הבסיס שלנו למסלולים, כדי שהמטריצה המייצגת תהיה בצורת ז'ורדן. נותר לבדוק האם תתי-המרחבים הנפרשים על ידם הם אינווריאנטיים. ניעזר בהערה הבאה:

\begin{remark}

$$T\left[\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \} \right ]=\operatorname{Span}\left \{ T\left(v_1 \right ),\dots,T\left(v_k \right ) \right \}=\operatorname{Span}\left(T\left[\left \{ v_1,\dots,v_k \right \} \right ] \right )$$

\end{remark}

\begin{lem}

אם $E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \}$ הוא מסלול מאורך $m$, אזי $\operatorname{Span} E$ הוא אינווריאנטי.

\end{lem}

\begin{proof}

נתבונן ב-$i=0,\dots,i-2$. אזי $$T\left(T^i\left(v \right ) \right )=T^{i+1}\left(v \right )\in E\subseteq \operatorname{Span} E$$ עבור $i=m-1$, $$T\left(T^{m-1}\left(v \right ) \right )=T^m\left(v \right )=0\in \operatorname{Span} E$$ לפי ההערה הקודמת, קיבלנו את מה שרצינו להוכיח.

\end{proof}