קוד:משפט ההצגה של ריס

\begin{thm} משפט ההצגה של ריס

יהי $V$ מרחב מכפלה פנימית מעל $\mathbb{F}$ ממימד סופי, ויהי $\varphi:V\rightarrow\mathbb{F}$ פונקציונל לינארי. אזי קיים וקטור $a\in V$ אחד ויחיד (התלוי ב-$\varphi$), שעבורו לכל $x\in V$, $$\varphi\left(x \right )=\left \langle x,a \right \rangle$$

\end{thm}

\begin{proof}

\begin{description}

\item[קיום] נבחר ב-$\mathbb{F}$ את הבסיס $\left\{1\right\}$. נבחר במרחב $V$ בסיס אורתונורמלי $B$. נבנה מטריצה מייצגת של $\varphi$ יחסית לבסיסים $B$, $\left\{1\right\}$. זו מטריצה מגודל $1\times n$, ז"א שורה, נסמן אותה $b$.

יהי $x\in V$. אזי $\varphi\left(x \right )=b\left[x \right ]_B=\left(b\left[x \right ]_B \right )^t=\left[x \right ]_B^tb^t$ (מותר לשחלף כי מדובר במטריצה $1\times 1$, כלומר סקלר).

מצד שני, ידוע שמתקיים $\left \langle x,a \right \rangle=\left[x \right ]_B^tG_B\overline{\left[a \right ]_B}=\left[x \right ]_B^t\overline{\left[a \right ]_B}$ (ידוע $G_B=I$, כי $B$ אורתונורמלי).

לכן, אם נבחר $a$ המקיים $\left[a \right ]_B=\overline{b}^t=b^*$, נקבל הדרוש.

\item[יחידות] אם יש $a,a'$ כך שלכל $x\in V$ מתקיים $\varphi\left(x \right )=\left \langle x,a \right \rangle=\left \langle x,a' \right \rangle$, אזי לכל $x$ מתקיים $\left \langle x,a-a' \right \rangle=0$. ניקח $x=a-a'$, ונקבל $\left \langle a-a',a-a' \right \rangle=0$, ולפי האי-שליליות $a-a'=0$, כלומר $a=a'$.

\end{description}

\end{proof}