קוד:משפט ז'ורדן הכללי

הגיע הזמן לשלב את כל המשפטים שהיו לנו עד כה למשפט האולטימטיבי - משפט ז'ורדן הכללי. במשפט זה נשתמש בפירוק של המרחב $V$ לסכום ישר של המרחבים העצמיים המוכללים, ובכך נצמצם את האופרטור לאופרטורים בעלי ערך עצמי יחיד. הוכחנו עבורם את המשפט, וזה יוכיח את משפט ז'ורדן הכללי. עבור היחידות תידרש מעט עבודה, אבל גם היא תגיע.

\begin{thm}[משפט ז'ורדן הכללי]

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי כך ש-$p_T\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. אזי $T$ ניתן להצגה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא מהצורה $J_{m_i}\left(\lambda_i\right)$. הצגה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים.

\end{thm}

\begin{proof}

\begin{description}

\item[קיום] נסמן $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ הערכים העצמיים השונים של $T$. נתבונן בפירוק של $V$ לסכום ישר של תתי-מרחבים עצמיים מוכללים: $V=K_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus K_{\lambda_s}$. הוא קיים בגלל ההנחה על הפולינום האופייני.

נתבונן, לכל $i=1,\dots,s$, בצמצום $T_i=T|_{K_{\lambda_i}}$. לכל $T_i$ יש ערך עצמי יחיד $\lambda_i$, ולכן, לפי המשפט הקודם, $T$ ניתן להצגה בצורה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא מהצורה $J_m\left(\lambda_i\right)$.

נתבונן באיחוד הזר $B=B_1\cup\dots\cup B_s$. בבסיס זה, נקבל ל-$T$ את הצורה הנדרשת.

\item[יחידות] יהי $B$ בסיס מז'רדן ל-$T$, ויהי $\lambda$ ערך עצמי של $T$.

נסדר את האיברים של $B$, כך שכל הבלוקים מהצורה $J_m\left(\lambda\right)$ יופיעו בחלק השמאלי העליון. נקבל $$\left[T \right ]_B=\left(\begin{array}{c|c}A_\lambda & 0 \\\hline 0 & A' \end{array} \right )$$ כאשר ב-$A_\lambda$ יופיעו כל הבלוקים מהצורה $J_m\left(\lambda\right)$, וב-$A'$ של שאר הערכים העצמיים.

הגודל של $A_\lambda$ נקבע באופן יחיד על ידי $T$, כי גודלו הוא בדיוק הריבוי האלגברי של $\lambda$.

אם נסמן $B=\left\{v_1,\dots,v_n\right\}$, אזי $A_\lambda=\left[T \right ]_{\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}}$, כאשר $\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$ אינווריאנטי. לאופרטור $T|_{\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}}$ יש ערך עצמי יחיד, והמטריצה המייצגת שלו היא $A_\lambda$. לכן, לפי משפט היחידות לאופרטור עם ערך עצמי יחיד, מספר הבלוקים ב-$A_\lambda$ מוגדר באופן יחיד על ידי $T$, כדרוש.

\end{description}

\end{proof}