קוד:משפט ז'ורדן הנילפוטנטי - יחידות

הוכחנו שצורת ז'ורדן של אופרטור נילפוטנטי קיימת. כעת, נוכיח כי היא יחידה (עד כדי שינוי סדר הבלוקים). ניעזר לכך בלמה הבאה:

\begin{lem}

יהי $E=\left\{T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \}$ מסלול מאורך $m$, יהי $V_0=\operatorname{span}\left(E\right)$, ויהי $T=T|_{V_0}$. אזי

$\dim\left(\ker T_0\cap\operatorname{im}T_0^j \right )=\left\{\begin{matrix} 1,\quad j<m\\ 0,\quad j\ge m \end{matrix} \right .$ \end{lem}

\begin{proof}

נניח $j\ge m$.

$T^m\left(v\right)=0\Rightarrow T^j\left(v \right )=0\Rightarrow\\\Rightarrow T^j\left[E \right ]=\left\{0 \right\}\Rightarrow \operatorname{im}T_0^j=\left\{0 \right \}\Rightarrow\dim\left(\ker T_0\cap\operatorname{im}T_0^j \right )=0$

נניח $j<m$.

נתבונן בווקטורים $T\left(v \right ),\dots,T^{m-1}\left(v \right )$. לכן, $\dim\left(\operatorname{im}T_0 \right )\ge m-1$.

לכן, $\dim\left(\ker T_0 \right )+\left(m-1 \right )\leq\dim\left (\ker T_0 \right )+\dim\left(\operatorname{im}T_0 \right )=\dim V_0=m$, כלומר $\dim\left(\ker T_0 \right )\leq 1$, ומכאן $\dim\left(\ker T_0\cap\operatorname{im}T_0^j \right )\leq 1$.

נתבונן בווקטור $T^{m-1}\left(v\right)\neq 0$ (לפי הגדרת המסלול). מצד שני, $T^{m-1}\left(v \right )=T^j\left(T^{m-j-1}\left(v \right ) \right )\operatorname{im}T_0^j$, ובנוסף $T\left(T^{m-1}\left(v \right )\right)=T^m\left(v \right )=0$, כלומר $T^{m-1}\left(v \right )\in\ker T$, כדרוש.

\end{proof}

הגיע הזמן לעבור להוכחת היחידות של צורת ז'ורדן.

\begin{thm}[משפט ז'ורדן הנילפוטנטי - יחידות]

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור נילפוטנטי מסדר $k$, ויהי $B$ בסיס מז'רדן ל-$T$. אזי מספר המסלולים מכל אורך ב-$B$ מוגדר באופן יחיד על ידי $T$ (ולכן, מספר הבלוקים מכל גודל ב-$\left [ T \right ]_B$ מוגדר ביחידות).

\end{thm}

\begin{proof}

נוכיח כי:

\begin{enumerate}

\item המסלול הארוך ביותר ב-$B$ הוא מסדר $k$.

\item לכל $j=1,\dots,k$, מספר המסלולים מאורך הגדול מ-$j$ שווה ל-$\dim\left(\ker T\cap\operatorname{im}T_0^j \right )$.

\item לכן, מספר המסלולים מאורך $j$ בדיוק שווה ל: $$\dim\left(\ker T\cap\operatorname{im}T^{j-1} \right )-\dim\left(\ker T\cap\operatorname{im}T^j \right )$$

\end{enumerate}

\begin{enumerate}

\item אם כל המסלולים ב-$B$ הם מאורך קטן מ-$k$, אזי $T^{k-1}=0$, ולכן סדר הנילפוטנטיות של $T$ הוא $k-1$, בסתירה להנחה.

אם קיים מסלול מאורך גדול מ-$k$, אז יחד עם $T^k=0$ נקבל כי $0$ שייך למסלול, בסתירה להגדרת המסלול.

\item נסמן $E_1,\dots,E_r$ המסלולים ב-$B$. נסמן לכל $i=1,\dots,r$, $V_i=\operatorname{span}\left(E_i\right)$. נתבונן בסכום הישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים $$V=V_1\oplus\cdots\oplus V_r$$ נסמן לכל $i=1,\dots,r$, $T_i=T|_{V_i}$.

לכן, לפי למה קודמת, $$\ker T=\ker T_1\oplus\cdots\oplus\ker T_r$$ וכן $$\operatorname{im}T=\operatorname{im}T_1\oplus\cdots\oplus\operatorname{im}T_r$$ לכן, לפי הלמה על חיתוך סכום ישר, נקבל כי $$\ker T\cap\operatorname{im}T^j=\left(\ker T_1\cap\operatorname{im}T_1^j \right )\oplus\cdots\oplus\left(\ker T_r\cap\operatorname{im}T_r^j \right )$$ לפי הלמה הקודמת, לכל $s=1,\dots,r$, $\dim\left(\ker T_s\cap\operatorname{im}T_s^j \right )=\left\{\begin{matrix} 1,\quad j<\ell\\ 0,\quad j\ge\ell \end{matrix}\right.$, כאשר $\ell$ הוא אורך המסלול.

אם כן, מספר המסלולים מאורך הגדול מ-$j$ הוא $\dim\left(\ker T\cap\operatorname{im}T^j \right )$, שזה הסכום על אורך כל המסלולים שסדרם גדול מ-$j$, כדרוש.

\item מסקנה ישירה משני הסעיפים הקודמים.

\end{enumerate}

\end{proof}