קוד:פולינום אופייני של אופרטור מצומצם למרחב עצמי מוכלל

\begin{lem}

יהי $T_0=T|_{K_\lambda}$, $m=\dim K_\lambda$. אזי $p_{T_0}\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$. במילים אחרות, אם מצמצמים אופרטור למרחב עצמי מוכלל שלו, יש לו ערך עצמי יחיד, והוא $\lambda$.

\end{lem}

\begin{proof}

נתבונן באופרטור $T_0-\lambda I:K_\lambda\rightarrow K_\lambda$. האופרטור $T_0-\lambda I$ הוא אופרטור נילפוטנטי, כי $\left(T-\lambda I\right)^n=0$ (זכרו שאנחנו במרחב העצמי המוכלל). לכן, הפולינום האופייני של $T_0-\lambda I$ הוא $p_{T_0-\lambda I}\left(y\right)=y^m$ (לפי הלמה הקודמת). לפי ההגדרה, $$y^m=p_{T_0-\lambda I}\left(y\right)=\det\left(yI-\left(T_0-\lambda I \right ) \right )=\det\left(\left(y+\lambda \right )I-T_0 \right )$$ נחליף את המשתנה: $x:=y+\lambda$ (כלומר $y=x-\lambda$). נקבל $$\left(x-\lambda \right )^m=\det\left(xI-T_0 \right )=p_{T_0}\left(x \right )$$ כדרוש.

\end{proof}