קוד:קיום בסיס אורתונורמלי - תהליך גראם-שמידט

\begin{thm}

לכל מרחב מכפלה פנימית $V$ ממימד סופי קיים בסיס אורתונורמלי.

\end{thm}

\begin{proof}

יהי $\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס של $V$. נקבל מבסיס זה בסיס אורתוגונלי $\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_n \right \}$.

נציג את \textbf{תהליך גראם-שמידט}, שבסופו יתקבל הבסיס הרצוי:

\begin{enumerate}

\item נגדיר $\overset{\circ}{v}_1=v_1$.

\item לכל $k>1$, נגדיר $\overset{\circ}{v}_k=v_k-\pi_{\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_{k-1} \right \}}\left(v_k \right )$ (\textbf{נוסחת גראם-שמידט}).

\item כשנקבל בסיס אורתוגונלי $\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_n \right \}$, נשתמש בנרמול, ונקבל בסיס אורתונורמלי.

\end{enumerate}

\end{proof}

\begin{remark}

\begin{enumerate}

\item בכל שלב אנו מקבלים וקטור $\overset{\circ}{v}_k$, שהוא ניצב למרחב $\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_{k-1} \right \}$:

$v_k=\overset{\circ}{v}_k+\pi_{\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_{k-1} \right \}}\left(v_k \right )\in\operatorname{Span}\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_k \right \}$,

לכן $\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}\subseteq\operatorname{Span}\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_k \right \}$,

ומכאן $\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}=\operatorname{Span}\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_k \right \}$.

\item יש גרסה של תהליך גראם-שמידט עם נרמול בכל צעד. זה לא ישנה את האלגוריתם, כי הנוסחה להיטל אינה תלויה בכפל של וקטור בסיס בסקלר.

\end{enumerate}

\end{remark}