קוד:קיום ויחידות ההעתקה הצמודה

\begin{remark}

נקבע $w\in W$, ונגדיר $\varphi_w:V\rightarrow\mathbb{F}$ על ידי $\varphi_w\left ( v \right )=\left \langle T\left(v \right ),w \right \rangle$. $\varphi_w$ הוא פונקציונל לינארי, ולכן, לפי משפט ההצגה של ריס, קיים וקטור $a\in V$, אחד ויחיד (התלוי ב-$T$ וב-$w$) כך שמתקיים $\varphi_w\left ( v \right )=\left \langle v,a \right \rangle$. ז"א שלכל $w\in W$ התאמנו $a\in V$ (באופן חד-משמעי). כלומר, בנינו העתקה מ-$W$ ל-$V$ שנסמן אותה $T^*:W\rightarrow V$, $w\mapsto a$.

\end{remark}

מה בעצם עשינו? בנינו "בידיים" את ההעתקה; לכל וקטור בחרנו וקטור ספציפי שאליו הוא יועתק. הבנייה הזו מראה את הקיום ואת היחידות של ההעתקה הצמודה; אם יש שתיים כאלו הנבדלות בערכן בווקטור מסוים, משפט ההצגה של ריס ייתן סתירה. כמו כן, הצבענו בבירור על העתקה כזו, כלומר היא אכן קיימת. נותר להוכיח דבר אחד - ההעתקה הצמודה היא באמת העתקה לינארית.

\begin{thm}

$T^*:W\rightarrow V$ היא העתקה לינארית.

\end{thm}

\begin{proof}

צריך להוכיח $T^*\left(\alpha w_1+\beta w_2 \right )=\alpha T^*\left(w_1 \right )+\beta T^*\left(w_2 \right )$. ניקח $v\in V$ וקטור כלשהו. נשים לב כי:

$$\left \langle v,T^*\left(\alpha w_1+\beta w_2 \right ) \right \rangle=\left \langle T\left(v \right ),\alpha w_1+\beta w_2 \right \rangle=\overline{\alpha}\left \langle T\left(v \right ),w_1 \right \rangle+\overline{\beta}\left \langle T\left(v \right ),w_2 \right \rangle=$$ $$=\overline{\alpha}\left \langle v,T^*\left(w_1 \right ) \right \rangle+\overline{\beta}\left \langle v,T^*\left(w_2 \right ) \right \rangle=\left \langle v,\alpha T^*\left(w_1 \right )+\beta T^*\left(w_2 \right ) \right \rangle$$

לכן לכל $v\in V$ מתקיים $\left \langle v,T^*\left(\alpha w_1+\beta w_2 \right )-\alpha T^*\left(w_1 \right )+\beta T^*\left(w_2 \right ) \right \rangle=0$.

ניקח $v=T^*\left(\alpha w_1+\beta w_2 \right )-\alpha T^*\left(w_1 \right )+\beta T^*\left(w_2 \right )$, ומהאי-שליליות של מכפלה פנימית נקבל את הדרוש.

\end{proof}