קוד:קריטריון לאוניטריות

\begin{thm} קריטריונים לאוניטריות}

התכונות הבאות של אופרטור $T$ שקולות:

\begin{enumerate}

\item $T$ אוניטרי.

\item $T$ שומר מכפלה פנימית, כלומר לכל $u,v\in V$ מתקיים $\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,v \right \rangle$.

\item $T$ שומר נורמה, כלומר לכל $v\in V$ מתקיים $\left \| T\left(v \right ) \right \|=\left \| v \right \|$.

\item $T$ שומר מרחקים, כלומר לכל $u,v\in V$ מתקיים $\rho\left(T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right )=\rho\left(u,v \right )$.

\end{enumerate}

\end{thm}

\begin{proof}

\begin{description}

\item[$\boxed{2\Leftarrow1}$] נניח $T^*T=TT^*=I$, ונחשב לכל $u,v\in V$: $$\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,T^*T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,I\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,v \right \rangle$$

\item[$\boxed{1\Leftarrow2}$] נניח שלכל $u,v\in V$ מתקיים $\left \langle u,T^*T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,v \right \rangle$, כלומר $\left \langle u,T^*T\left(v \right )-v \right \rangle=0$. נבחר $u=T^*T\left(v\right)-v$, ונקבל שלכל $v\in V$, מתקיים $T^*T\left(v\right)-v=0$, ז"א $T^*T=I$, ולכן $T$ אוניטרי.

\item[$\boxed{4\Leftarrow3}$] נניח $\left \| T\left(v \right ) \right \|=\left \| v \right \|$ לכל $v\in V$. אזי לכל $u,v\in V$: $$\rho\left(T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right )=\left \| T\left(u \right )-T\left(v \right ) \right \|=\left \| T\left(u-v \right ) \right \|=\left \| u-v \right \|=\rho\left(u,v \right )$$

\item[$\boxed{3\Leftarrow4}$] נניח שלכל $u,v\in V$ מתקיים $\rho\left(T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right )=\rho\left(u,v \right )$. אזי לכל $v\in V$: $$\left \| T\left(v \right ) \right \|=\rho\left(T\left(v \right ),0 \right )=\rho\left(v,0 \right )=\left \| v \right \|$$

\item[$\boxed{3\Leftarrow2}$] נניח $\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,v \right \rangle$ לכל $u,v\in V$, וניקח $u=v$. נקבל שלכל $v\in V$, $$\left \| T\left(v \right ) \right \|=\left \| v \right \|\Leftarrow\left \| T\left(v \right ) \right \|^2=\left \langle T\left(v \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle v,v \right \rangle=\left \| v \right \|^2$$

\item[$\boxed{2\Leftarrow3}$] נניח $\left \| T\left(v \right ) \right \|=\left \| v \right \|$ לכל $v\in V$. נתבונן ב-$\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle$: $$\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=$$ $$=\frac{1}{2}\left(\left \| T\left(u \right )+T\left(v \right ) \right \|^2-\left \| T\left(u \right ) \right \|^2-\left \| T\left(v \right ) \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| T\left(u \right )+iT\left(v \right ) \right \|^2-\left \| T\left(u \right ) \right \|^2-\left \| T\left(v \right ) \right \|^2 \right )=$$ $$=\frac{1}{2}\left(\left \| T\left(u + v \right ) \right \|^2-\left \| T\left(u \right ) \right \|^2-\left \| T\left(v \right ) \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| T\left(u + iv \right ) \right \|^2-\left \| T\left(u \right ) \right \|^2-\left \| T\left(v \right ) \right \|^2 \right )=$$ $$=\frac{1}{2}\left(\left \| u+v \right \|^2-\left \| u \right \|^2-\left \| v \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| u+iv \right \|^2-\left \| u \right \|^2-\left \| v \right \|^2 \right )=\left \langle u,v \right \rangle$$

\end{description}

\end{proof}