קוד:קריטריון ללכסינות על ידי הריבויים

כעת נמצא קריטריון ללכסינות, המסתמך על הריבויים האלגברי והגיאומטרי של הערכים העצמיים של המטריצה )או האופרטור(. ניזכר בדוגמה של בלוק ז'ורדן; הוא לא היה לכסין, מפני שלא היו מספיק וקטורים עצמיים הקשורים לערך העצמי $\lambda$. אם כן, נרצה שלכל ערך עצמי יהיו מספיק וקטורים עצמיים, ואת זאת נביע במשפט הבא:

\begin{thm}

נניח ש-$p_A\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. אזי $A$ לכסינה אם ורק אם לכל ע"ע $\lambda$ של $A$, הריבוי הגיאומטרי $m_\lambda$ שווה לריבוי האלגברי $k_\lambda$.

\end{thm}

\begin{proof}

\begin{description}

\item[$\boxed{\Leftarrow}$] נניח ש-$A$ לכסינה. אזי למרחב $\mathbb{F}^n$ יש בסיס $B=\left\{v_1,\dots,v_n\right\}$ המורכב מו"ע של $A$. נחלק את $B$ ל-$s$ תתי קבוצות, לפי הע"ע השונים $\lambda_1,\dots,\lambda_s$, ונסמנן $B_1,\dots,B_s$. לכל $\lambda_i$ נסמן ב-$m_i$ את הריבוי הגיאומטרי שלו וב-$k_i$ את הריבוי האלגברי שלו. נתבונן בסכום $m_1+\cdots+m_s=?$. מתקיים $$m_1+\cdots+m_s=\dim V_{\lambda_1}+\cdots+\dim V_{\lambda_s}\ge\left|B_1\right|+\cdots+\left|B_s\right|=n$$ מצד שני, $k_1+\cdots+k_s=\deg p_A\left(x\right)=n$.

כמו כן, $k_i\ge m_i$ לכל $i=1,\dots,s$.

אם כן, עד כה ידוע כי $n=k_1+\cdots+k_s\ge m_1+\cdots+m_s=n$. לכן, $$k_1+\cdots+k_s=m_1+\cdots+m_s$$ ומכאן שמתקיים $k_1=m_1,\dots,k_s=m_s$, כדרוש.

\item[$\boxed{\Rightarrow}$] נניח שלכל $i=1,\dots,s$ (לפי הסימונים הקודמים), $m_i=k_i$, ונוכיח ש-$A$ לכסינה. כדי לעשות זאת, נוכיח של-$\mathbb{F}^n$ קיים בסיס המורכב מו"ע של $A$.

מההנחה $m_i=k_i$, נקבל $m_1+\cdots+m_s=k_1+\cdots+k_s=n$. לכל $\lambda_i$ עבור $i=1,\dots,s$, נתבונן במרחב העצמי $V_{\lambda_i}$. מתקיים $m_i=\dim V_{\lambda_i}$.

לכל $i=1,\dots,s$ נבנה בסיס $B_i$ של $V_{\lambda_i}$. אזי $\left|B_1\right|=m_1,\dots,\left|B_s\right|=m_s$.

נגדיר $B=\bigcup_{j=1}^sB_j$, ונוכיח ש-$B$ הוא הבסיס הנדרש. $B$ מורכב מו"ע, על פי הבנייה.

נסמן $B_1=\left \{ v_1^{\left ( 1 \right )},\dots,v_1^{\left(m_1 \right )} \right \},\dots,B_s=\left \{ v_s^{\left ( 1 \right )},\dots,v_s^{\left(m_s \right )} \right \}$. אזי $$\left|B\right|=m_1+\cdots+m_s=n$$

לכן, מספיק להוכיח ש-$B$ בת"ל. ניקח צירוף לינארי מתאפס של איברי הקבוצה $B$: $$\left(\star\right)\quad\underbrace{\alpha_1^{\left(1 \right )}v_1^{\left(1 \right )}+\cdots+\alpha_1^{\left(m_1 \right )}v_1^{\left(m_1 \right )}}_{w_1}+\cdots+\underbrace{\alpha_s^{\left(1 \right )}v_s^{\left(1 \right )}+\cdots+\alpha_s^{\left(m_s \right )}v_s^{\left(m_s \right )}}_{w_s}=0$$ אזי $w_1+\cdots+w_s=0$, וכן לכל $i=1,\dots,s$, מתקיים $w_i\in V_{\lambda_i}$, כלומר כל $w_i$ הוא ו"ע של $A$ הקשור ל-$\lambda$ או אפס.

אם $w_i=0$, אזי $\alpha_i^{\left(1 \right )}v_i^{\left(1 \right )}+\cdots+\alpha_i^{\left(m_i \right )}v_i^{\left(m_i \right )}=0$. לכן, אם כל $w_i=0$, אז כל המקדמים בשוויון $\left(\star\right)$ שווים לאפס, וסיימנו.

נניח בשלילה שיש כמה אינדקסים $i$ שעבורם $w_i\neq 0$. אזי $w_i$-ים אלו הם ו"ע הקשורים ל-$\lambda_i$. נסמן ב-$I$ את אוסף כל האינדקסים הנ"ל, ונקבל $\sum_{i\in I}w_i=0$, בסתירה לבת"ל של ו"ע הקשורים לע"ע שונים. הסתירה מוכיחה את הדרוש.

\end{proof}