קוד:שוויון באי-שוויון בסל

לאחר שהוכחנו את אי-השוויון, נשאלת השאלה האם יכול להיות בו שוויון, ואם כן - מתי. אנו יודעים שיהיה שוויון אם הקבוצה תהיה בסיס אורתונורמלי, אבל נוכיח טענה חזקה יותר:

\begin{remark}

באי-שוויון בסל יש שוויון אם ורק אם $v\in\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$.

\end{remark}

\begin{proof}

\begin{description}

\item[$\boxed{\Rightarrow}$] אם $v\in\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$, נשתמש בעובדה שלכל $i>k$, מתקיים $v_i\perp\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$, ולכן $v_i\perp v$, זאת אומרת $\left \langle v,v_i \right \rangle=0$, ולכן יש שוויון.

\item[$\boxed{\Leftarrow}$] אם יש שוויון, אזי $\left \langle v,v_i \right \rangle=0$ לכל $i>k$, כלומר $v\perp v_i$, ולכן $v\perp\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \}$. אבל $\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \}^\perp=\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}$, ולכן $v\in\operatorname{Span}\left\{v_1,\dots,v_k\right\}$.

\end{description}

\end{proof}