קוד:שילוש אוניטרי של אופרטורים

\begin{thm}

נניח ש-$p_T\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. אזי קיים בסיס אורתונורמלי $B$ של $V$ כך ש-$A=\left[T\right]_V$ משולשת.

\end{thm}

\begin{proof}

קודם כל, לפי משפט השילוש, קיים בסיס $B'$ של $V$ כך ש-$A'=\left[T\right]_{B'}$ מטריצה משולשת עליונה. כעת, נשתמש בתהליך גראם-שמידט; נעבור מ-$B'$ לבסיס אורתונורמלי $B$. נסמן $A=\left[T\right]_B$.

נסמן ב-$C$ את מטריצת המעבר מ-$B'$ ל-$B$. כפי שנאמר קודם, $C$ מטריצה משולשת עליונה, ולכן $C^{-1}$ אף היא משולשת עליונה, ולכן $A=C^{-1}A'C$ גם היא מטריצה משולשת עליונה, כדרוש.

\end{proof}

\begin{remark}

בכיוון ההפוך המשפט מתקיים גם כן, כי פירוק של $p_T\left(x\right)$ למכפלה של גורמים לינאריים הוא תנאי הכרחי לשילוש.

\end{remark}