קוד:תכונות הפולינום האופייני

\begin{thm}[תכונות הפולינום האופייני]

לפולינום האופייני התכונות הבאות:

\begin{enumerate}

\item השורשים של $p_A\left(x\right)$ הם הע"ע של $A$.

\item אם $A$ מטריצה משולשת, $$A=\left ( \begin{matrix} \lambda_1 & &\star \\ &\ddots & \\ & & \lambda_n \end{matrix} \right )$$ אזי $p_A\left ( x \right )=\prod_{i=1}^{n}\left ( x-\lambda_i \right )$.

\item $p_A\left(x\right)$ הוא פולינום מתוקן. זאת אומרת, המקדם הראשי / המוביל שלו שווה ל-$1$.

\item $\deg\left(p_A\left(x\right)\right)=n$.

\item אם $p_A\left(x\right)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0$, אזי $a_0=\left(-1\right)^n\cdot\det\left(A\right)$ וגם $a_{n-1}=-tr\left(A\right)$.

\end{enumerate}

\end{thm}

\begin{proof}

\begin{description}

\item[1] לפי טענה שראינו בהרצאה הראשונה.

\item[2] המטריצה $$xI-A=\left(\begin{matrix} x-\lambda_1 & & \star\\

& \ddots & \\ 

0 & & x-\lambda_n \end{matrix} \right )$$ גם היא משולשת, ולכן הדטרמיננטה שלה היא מכפלת איברי האלכסון. אם כן, $$p_A\left(x \right )=\det\left(xI-A \right )=\prod_{i=1}^n\left(x-\lambda_i \right )$$

\item[3,4,5] $$p_A\left(x\right)=\det\left ( xI_n-A \right )=\det\left ( \begin{matrix} x-a_{11} & \cdots &-a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ -a_{n1} & \cdots & x-a_{nn} \end{matrix} \right )=$$ $$=\sum_{\sigma\in S_n}sgn\left ( \sigma \right )c_{1\sigma\left ( 1 \right )}\dots c_{n\sigma\left ( n \right )}=x^n+x^{n-1}\left ( -a_{11}-a_{22}-\cdots-a_{nn} \right )+\cdots+a_0$$

מהפיתוח הנ"ל, סעיפים 3 ו-4 נובעים באופן מיידי. נותר להוכיח את סעיף 5:

$a_0=p_A\left ( 0 \right )=\det\left ( 0I_n-A \right )=\det\left ( -A \right )=\left ( -1 \right )^n\det\left ( A \right )$

\end{description}

\end{proof}