קוד:תנאים שקולים לסכום ישר
\begin{lem}
יהי $W=U_1+\cdots+U_k$ סכום של תתי-מרחבים של $V$. אזי התנאים הבאים שקולים:
\begin{enumerate}
\item הסכום $W=U_1+\cdots+U_k$ הוא ישר.
\item נניח כי מתקיים $u_1+u_2+\cdots+u_k=0$, כאשר לכל $i=1,\dots,k$, $u_i\in U_i$, אזי $u_1=\cdots=u_k=0$.
\item לכל $w\in W$ יש הצגה יחידה כסכום $w=u_1+u_2+\cdots+u_k$, כאשר $u_i\in U_i$.
\item לכל $i=1,\dots,k$, מתקיים $\left(U_1+\cdots+U_{i-1}+U_{i+1}+\cdots+U_k\right)\cap U_i=\emptyset$.
\item לכל $\sigma\in S_k$ מתקיים $W=U_{\sigma\left(1 \right )}\oplus\cdots\oplus U_{\sigma\left(k \right )}$.
\end{enumerate}
\end{lem}
\begin{proof}
\begin{description}
\item[$\boxed{2\Leftarrow1}$] נניח ש-$u_1+\cdots+u_k=0$, לכן $\underbrace{u_1+\cdots+u_{k-1}}_{\in U_1+\cdots+U_{k-1}}=\underbrace{-u_k}_{\in U_k}$. אבל לפי הגדרת הסכום הישר, $\left(U_1+\cdots+U_{k-1}\right)\cap U_k=\left\{0\right\}$, ולכן $u_k=0$. באופן דומה ממשיכים, ומקבלים $u_1=\cdots=u_k=0$.
\item[$\boxed{3\Leftarrow2}$] לפי הגדרת הסכום, לכל $w\in W$ יש הצגה כסכום $w=u_1+\cdots+u_k$, כאשר $u_i\in U_i$. נניח כי קיימות ל-$w$ שתי הצגות, $u_1+\cdots+u_k=w=\tilde{u}_1+\cdots+\tilde{u}_k$. אזי $\underbrace{\left (u_1-\tilde{u}_1 \right )}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{\left (u_k-\tilde{u}_k \right )}_{\in U_k}=0$ לכן, לפי סעיף 2, לכל $i=1,\dots,k$, מתקיים $u_i-\tilde{u}_i=0$, כלומר $u_i=\tilde{u}_i$, ולכן ההצגות זהות.
\item[$\boxed{4\Leftarrow3}$] נניח שקיים $z\in V$ כך ש-$z\in U_1+\cdots+U_{i-1}+U_{i+1}+\cdots+U_k$ וכן $z\in U_i$. לכן קיימים $u_i\in U_i$ שעבורם $u_i=z=u_1+\cdots+u_{i-1}+u_{i+1}+\cdots+u_k$. אבל לפי סעיף 3 נקבל $u_1=\cdots=u_k=0$, ולכן $z=0$.
\item[$\boxed{5\Leftarrow4}$] תהי $\sigma\in S_k$. ראשית, נוכיח שהסכום $U_{\sigma\left(1 \right )}+\cdots+U_{\sigma\left(k \right )}$ ישר. לכל $i=2,\dots,k$, $$\left (U_{\sigma\left(1 \right )}+\cdots+U_{\sigma\left(i-1 \right )} \right )\cap U_i\subseteq \left (U_{\sigma\left(1 \right )}+\cdots+U_{\sigma\left(i-1 \right )}+U_{\sigma\left(i+1 \right )}+\cdots+U_k \right )\cap U_i=\left \{ 0 \right \}$$ לכן $\left (U_{\sigma\left(1 \right )}+\cdots+U_{\sigma\left(i-1 \right )} \right )\cap U_i=\left \{ 0 \right \}$, ומכאן שהסכום ישר.
כעת נוכיח ש-$W=U_{\sigma\left(1 \right )}+\cdots+U_{\sigma\left(k \right )}$.
$\Leftrightarrow w\in U_1+\cdots+U_k$ לכל $i=1,\dots,k$ קיים $u_i\in U_i$ שעבורם $x=u_1+\cdots+u_k$ $\Leftrightarrow$ לכל $i=1,\dots,k$ קיים $u_{\sigma\left(i\right)}\in U_{\sigma\left(i\right)}$ שעבורם $x=u_{\sigma\left(1\right)}+\cdots+u_{\sigma\left(k\right)}$ $\Leftrightarrow$ $w\in U_{\sigma\left(1 \right )}+\cdots+U_{\sigma\left(k \right )}$
\item[$\boxed{1\Leftarrow5}$] נבחר בתור $\sigma$ את תמורת הזהות.
\end{description}
\end{proof}