בקצרה:רציפות של פונקציה בנקודה פירושה שהפונקציה מגיעה בנקודה בדיוק לערך שאליו היא שואפת, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) }[/math], כלומר אין בגרף "ניתוק": כמו מי שהולך הביתה ואכן מגיע הביתה, ולא נופל לפיר ביוב בכניסה לבית. בין ההגדרות של רציפות בנקודה ובקטע יש הבדל חשוב: פונקציה רציפה בקטע סגור צריכה להיות רציפה בכל נקודה פנימית של הקטע, אבל בכל קצה נדרש רק שהגבול החד-צדדי מתוך הקטע יהיה שווה לערך בקצה, וזו בדיוק ההנחה של משפט ערך הביניים ושל משפטי ויירשטראס. החלק השני של הדף עוסק ברציפות של הרכבה ובחישוב גבול של פונקציה מורכבת: אם הפונקציה הפנימית שואפת למספר שבו הפונקציה החיצונית רציפה, מותר "להציב את הגבול" בתוך החיצונית, ובלי הרציפות הזו הכלל נכשל.
אנו מעוניינים להגדיר את המושג האינטואיטיבי של רציפות: גרף ש"לא נשבר". כיוון שיש לנו את מושג הגבול (הגובה שאליו הפונקציה שואפת בנקודה), נרצה באופן טבעי שערך הפונקציה בנקודה יהיה שווה לגבול שלה בנקודה. שימו לב שהגדרת הרציפות היא נקודתית: פונקציה רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה שלו.
רציפות בנקודה ובקטע
▶ ההרצאה: רציפות
▶ ההרצאה: ניסוי הכדור המקפץ
ניסוי הכדור המקפץ מהסרטון: גובה הכדור [math]\displaystyle{ h(t) }[/math] כפונקציה של הזמן, כשמפילים אותו מגובה [math]\displaystyle{ D }[/math] של 75 ס"מ, ובכל קפיצה הוא חוזר ל־60% מהגובה הקודם ([math]\displaystyle{ 0.6D }[/math], [math]\displaystyle{ 0.6^2D }[/math] וכן הלאה). בעולם מושלם הכדור קופץ אינסוף פעמים, אבל משכי הקפיצות יוצרים טור הנדסי מתכנס, ולכן כל הקפיצות מסתיימות ברגע [math]\displaystyle{ T\approx3.08 }[/math] שניות, ומאז הכדור נח על הרצפה. בהגדלה (בפינה העליונה) רואים את הקפיצות האחרונות: בקפיצה ה־[math]\displaystyle{ k }[/math] הגובה הוא לכל היותר [math]\displaystyle{ 0.6^kD }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ h(t)\to0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ t\to T }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \lim_{t\to T}h(t)=0=h(T) }[/math], ו־[math]\displaystyle{ h }[/math]רציפה ב־[math]\displaystyle{ T }[/math]. אפשר לצייר את הגרף "במשיכת קולמוס", אף שיש בו אינסוף קפיצות.
יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה. אומרים ש [math]\displaystyle{ f }[/math]רציפה בנקודה[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם
במילים: הפונקציה מגיעה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] לערך שאליו היא שואפת: אין בה "ניתוק" ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. מההגדרה נובע ש־[math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת בסביבה של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה. אומרים ש [math]\displaystyle{ f }[/math]רציפה בקטע הסגור[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אם:
[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בכל נקודה [math]\displaystyle{ x_0\in(a,b) }[/math];
יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. אזי לכל סדרה [math]\displaystyle{ x_n }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ x_n\to x_0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x_n)\to f(x_0) }[/math], גם אם [math]\displaystyle{ x_n=x_0 }[/math] עבור חלק מה־[math]\displaystyle{ n }[/math]־ים.
תהיינה [math]\displaystyle{ f }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g }[/math] פונקציות. [math]\displaystyle{ f }[/math] הרכבת [math]\displaystyle{ g }[/math] היא הפונקציה [math]\displaystyle{ f\circ g }[/math], המוגדרת לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] בתחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ g }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] נמצא בתחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ f }[/math], על ידי
ואכן, בנקודה שבה [math]\displaystyle{ f(x)\ge g(x) }[/math] אגף ימין שווה ל־[math]\displaystyle{ f(x) }[/math], ובנקודה שבה [math]\displaystyle{ f(x)<g(x) }[/math] הוא שווה ל־[math]\displaystyle{ g(x) }[/math].
לכן פונקציית המקסימום היא סכום, כפל בקבוע והרכבה של פונקציות רציפות, ולכן רציפה.
יהיו [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y_0\in\mathbb R }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה כך ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=y_0 }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ g }[/math] פונקציה רציפה ב־[math]\displaystyle{ y_0 }[/math]. אזי
יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ g }[/math] פונקציה רציפה ב־[math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
נקודות אי רציפות
פונקציה אינה רציפה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם הגבול בנקודה אינו קיים, אם הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה, או אם הגבול קיים והפונקציה מוגדרת אבל ערכה שונה מהגבול. את המיון לנקודות אי רציפות סליקות, ממין ראשון וממין שני, עם תרגילים פתורים, ראו בדף נקודות אי רציפות.
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: שאלת בוחן: רציפות בקטע סגור עם פרמטר
יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f:[-1,3]\to\mathbb R }[/math] הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} & x\ne0\\ a & x=0\end{cases} }[/math] (א) מצאו את כל ערכי [math]\displaystyle{ a }[/math] שעבורם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [-1,3] }[/math]. (ב) האם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בנקודה[math]\displaystyle{ -1 }[/math]?
כלי עזר. לכל [math]\displaystyle{ x_0>-1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\sqrt{x+1}=\sqrt{x_0+1} }[/math], וגם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to-1^+}\sqrt{x+1}=0 }[/math]: לפי היינה, אם [math]\displaystyle{ x_n\to x_0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x_n+1\to x_0+1 }[/math], ולפי חזקות של גבולות (טענה 2.8.1 (ד), ובקצה (ה), עם החזקה [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math]) [math]\displaystyle{ \sqrt{x_n+1}\to\sqrt{x_0+1} }[/math].
צמצום (כפל בצמוד). לכל [math]\displaystyle{ x\in[-1,3] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{(x+1)-1}{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{\sqrt{x+1}+1} }[/math].
נקודה פנימית[math]\displaystyle{ x_0\in(-1,3) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x_0\ne0 }[/math]: לפי כלי העזר וחשבון גבולות (מסקנה 4.3.4; גבול המכנה הוא [math]\displaystyle{ \sqrt{x_0+1}+1\ge1 }[/math], ולכן שונה מ־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]) [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=\frac{1}{\sqrt{x_0+1}+1} }[/math] [math]\displaystyle{ =f(x_0) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], לכל ערך של [math]\displaystyle{ a }[/math].
הנקודה [math]\displaystyle{ 0 }[/math]:[math]\displaystyle{ \lim_{x\to0}f(x)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a=\frac{1}{2} }[/math].
הקצוות (גבולות חד-צדדיים; חשבון הגבולות חל עליהם באותה דרך, לפי היינה, הגדרה 4.3.2): [math]\displaystyle{ \lim_{x\to-1^+}f(x)=\frac{1}{0+1}=1 }[/math], וזה שווה ל־[math]\displaystyle{ f(-1)=\frac{0-1}{-1}=1 }[/math]; וגם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to3^-}f(x)=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3} }[/math], וזה שווה ל־[math]\displaystyle{ f(3)=\frac{2-1}{3}=\frac{1}{3} }[/math].
(א) לפי הגדרה 4.5.2, [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [-1,3] }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a=\frac{1}{2} }[/math].
(ב) לא. [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה מוגדרת משמאל ל־[math]\displaystyle{ -1 }[/math], כלומר באף סביבה מנוקבת של [math]\displaystyle{ -1 }[/math], ולכן הגבול הדו-צדדי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to-1}f(x) }[/math] אינו קיים, ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] אינה רציפה בנקודה [math]\displaystyle{ -1 }[/math] לפי הגדרה 4.5.1. אין סתירה ל־(א): בקצה של קטע סגור הגדרה 4.5.2 דורשת רק את הגבול מימין, בדיוק כמו [math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
מקור: מאגר ת4-095 ('רציפות בקטע סגור: איפה בודקים', ✓ לבוחן, 4 דק'; הווריאנט (√(x+1)−1)/x − 1/2 ל־x>0 מדף הסיכום בתשע"ח, W6b; הערת המאגר: 'אין כמעט תרגילים על רציפות בקצה, והיא נחוצה לערך הביניים ולוויירשטראס') ות4-066 (משפחת רציפות עם פרמטר, למשל (√(9+x)−a)/x, ✓ לבוחן); ההערה על √x בפריט 4.5.1; תמליל 53 (9y7T2Nmpv24) 03:17–03:51 (https://www.youtube.com/watch?v=9y7T2Nmpv24&t=197s): 'ולמה הקצוות הם מיוחדים? ... אולי משמאל ל-A הפונקציה בכלל לא מוגדרת, כמו שורש X משמאל ל-0'. הנוסח המדויק (הקטע [−1,3] והפרמטר בנקודה 0) נבנה מהשניים.
דוגמה 2: גבול של פונקציה מורכבת: מתי מותר להציב את הגבול
(א) חשבו את [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\sqrt{\frac{9x^2+1}{x^2+x}} }[/math]. (ב) חשבו את [math]\displaystyle{ \lim_{x\to1}2^{\frac{x^3-1}{x-1}} }[/math]. (ג) הוכיחו שהפונקציה [math]\displaystyle{ h(x)=2^{\sqrt{x^2+1}} }[/math] רציפה בכל נקודה [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math].
כלי עזר. הפונקציה [math]\displaystyle{ \sqrt{y} }[/math] רציפה בכל [math]\displaystyle{ y_0>0 }[/math], והפונקציה [math]\displaystyle{ 2^y }[/math] רציפה בכל [math]\displaystyle{ y_0\in\mathbb R }[/math]: לפי היינה, אם [math]\displaystyle{ y_n\to y_0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \sqrt{y_n}\to\sqrt{y_0} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 2^{y_n}\to2^{y_0} }[/math] (חזקות של גבולות, טענה 2.8.1 (ד) ו־(ב)).
(א) הפונקציה הפנימית מוגדרת וחיובית לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math], ולפי חשבון גבולות [math]\displaystyle{ \frac{9x^2+1}{x^2+x}=\frac{9+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}} }[/math] [math]\displaystyle{ \to\frac{9+0}{1+0}=9 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\to\infty }[/math]. החיצונית [math]\displaystyle{ \sqrt{y} }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ y_0=9 }[/math], ולכן לפי משפט 4.5.5 (עם [math]\displaystyle{ x_0=\infty }[/math]) הגבול הוא [math]\displaystyle{ \sqrt{9}=3 }[/math].
(ב) הפנימית [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x^3-1}{x-1} }[/math] אינה מוגדרת ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן מסקנה 4.5.6 (רציפות ההרכבה) אינה חלה כאן; אבל יש לה גבול: [math]\displaystyle{ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ x\ne1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=x^2+x+1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to1}f(x)=3 }[/math]. החיצונית [math]\displaystyle{ 2^y }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ 3 }[/math], ולכן לפי משפט 4.5.5 הגבול הוא [math]\displaystyle{ 2^3=8 }[/math].
הכלל (בסרטון, 6:52–7:05): אם הפנימית שואפת ל־[math]\displaystyle{ y_0 }[/math] והחיצונית רציפה ב־[math]\displaystyle{ y_0 }[/math], "מותר פשוט להציב את הגבול". כשהחיצונית אינה רציפה ב־[math]\displaystyle{ y_0 }[/math] אסור להציב, כפי שמראה הדוגמה הבאה.
מקור: תמליל 55 (FA_XRcitd64): דוגמאות להרכבה 'סינוס של X בריבוע, E בחזקת שורש X' 00:19–00:37 (https://www.youtube.com/watch?v=FA_XRcitd64&t=19s), והכלל 'אם G רציפה ב-Y0 מותר פשוט להציב את הגבול' 06:52–07:05 (https://www.youtube.com/watch?v=FA_XRcitd64&t=412s); לוח ההרצאה 28.12.20, מדמ"ח תשפ"א (R2-4.10: 'סכום, כפל והרכבה של רציפות רציפה', h(x)=sin(e^{x^2})+x); מאגר ת4-052 (השורה האחרונה: lim f=a ו-g רציפה ב-a ⇒ lim g(f(x))=g(a)). הפונקציות נבחרו בלי sin ו-cos (רציפותן אינה בפריטים, והן שייכות לדף הפונקציות הטריגונומטריות).
דוגמה 3: שאלה ממבחן: גבול של הרכבה, הוכיחו או הפריכו
(מועד א' תשפ"א, מדמ"ח, שאלה 2) יהיו [math]\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb R }[/math], ותהיינה [math]\displaystyle{ f,g }[/math] פונקציות המוגדרות בכל הממשיים, כך ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a}f(x)=b }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{y\to b}g(y)=c }[/math]. הוכיחו או הפריכו: (א) [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a}g(f(x))=c }[/math]. (ב) נגדיר [math]\displaystyle{ h(y)=\begin{cases}g(y) & y\ne b\\ c & y=b\end{cases} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a}h(f(x))=c }[/math].
(א) לא נכון. נבחר [math]\displaystyle{ a=0 }[/math], [math]\displaystyle{ b=5 }[/math], [math]\displaystyle{ c=2 }[/math], [math]\displaystyle{ f(x)=5 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math], ו־[math]\displaystyle{ g(y)=2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ y\ne5 }[/math], [math]\displaystyle{ g(5)=3 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0}f(x)=5 }[/math] (פונקציה קבועה), ו־[math]\displaystyle{ \lim_{y\to5}g(y)=2 }[/math] (הגבול אינו תלוי בערך בנקודה [math]\displaystyle{ 5 }[/math] עצמה). אבל [math]\displaystyle{ g(f(x))=g(5)=3 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0}g(f(x))=3\ne2 }[/math].
מה השתבש: הפנימית "נכנסת בדיוק לחור": [math]\displaystyle{ f(x)=b }[/math], וההרכבה משתמשת בערך [math]\displaystyle{ g(b) }[/math], שהגבול של [math]\displaystyle{ g }[/math] מתעלם ממנו. [math]\displaystyle{ g }[/math] אינה רציפה ב־[math]\displaystyle{ b }[/math], ולכן משפט 4.5.5 אינו חל.
(ב) נכון. לכל [math]\displaystyle{ y\ne b }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ h(y)=g(y) }[/math], והגבול תלוי רק בערכים בסביבה מנוקבת של [math]\displaystyle{ b }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{y\to b}h(y)=\lim_{y\to b}g(y) }[/math] [math]\displaystyle{ =c=h(b) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ b }[/math].
נוכיח לפי היינה (זו גם ההוכחה של משפט 4.5.5). תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה כך ש [math]\displaystyle{ a_n\ne a }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to a }[/math]. לפי היינה [math]\displaystyle{ f(a_n)\to b }[/math]. ייתכן ש [math]\displaystyle{ f(a_n)=b }[/math] עבור חלק מה־[math]\displaystyle{ n }[/math]־ים (כמו ב־(א)), ולכן אי אפשר להפעיל את היינה על [math]\displaystyle{ h }[/math]; אבל [math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ b }[/math], ולפי טענה 4.5.3 [math]\displaystyle{ h(f(a_n))\to h(b)=c }[/math]. זה נכון לכל סדרה כזו, ולכן לפי היינה [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a}h(f(x))=c }[/math].
בדוגמה של (א) מתקבל [math]\displaystyle{ h(y)=2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ y }[/math], ואכן [math]\displaystyle{ h(f(x))=2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0}h(f(x))=2=c }[/math].
מקור: מועד א' תשפ"א, מדמ"ח (ארז שיינר ואלעד עטייא), שאלה 2 (שתי הטענות), Infi1moedA2021CS.pdf, והפתרון הרשמי Infi1moedA2021CSSol.pdf (W4b טענה 6: 'lim_{x→b}h(x)=c=h(b), כלומר h רציפה בנקודה b', ואז היינה; הדוגמה הנגדית f≡5, g=2 ל-x≠5, g(5)=3); מאגר ת4-052 (מבחן, קושי 2–4, '(א) ✓ 3 דק'; (ב) ✓ 8 דק, 'מתאים גם למצאו את הטעות'); תמליל 55 (FA_XRcitd64) 02:13–04:28 (https://www.youtube.com/watch?v=FA_XRcitd64&t=133s): הדוגמה הנגדית f≡0, g(y)=y/y, ו'תחשבו על 0 כחור בשן' (03:16); ההוכחה בהיינה 05:18–06:37 (https://www.youtube.com/watch?v=FA_XRcitd64&t=318s; 'ומה הייתה הבעיה כשלא הייתה רציפות?', 06:00).
טעויות נפוצות
לצטט את משפט 4.5.5 עם ההנחה [math]\displaystyle{ \lim_{y\to y_0}g(y)=L }[/math] במקום "[math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ y_0 }[/math]", ולכתוב במסקנה [math]\displaystyle{ L }[/math] במקום [math]\displaystyle{ g(y_0) }[/math]: עם גבול בלבד המשפט אינו נכון. בסרטון (2:23) [math]\displaystyle{ f\equiv0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g(y)=\frac{y}{y} }[/math]: [math]\displaystyle{ \lim_{y\to0}g(y)=1 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ g(f(x))=\frac{0}{0} }[/math] אינה מוגדרת באף נקודה.
בהוכחה לפי היינה של גבול של הרכבה, לשכוח ש־[math]\displaystyle{ f(a_n) }[/math] עשויה להיות שווה ל־[math]\displaystyle{ y_0 }[/math]: היינה ל־[math]\displaystyle{ g }[/math] חל רק על סדרות ששונות מ־[math]\displaystyle{ y_0 }[/math], ולכן צריך את הרציפות של [math]\displaystyle{ g }[/math] ב־[math]\displaystyle{ y_0 }[/math] ואת טענה 4.5.3, שמתירה גם איברים ששווים ל־[math]\displaystyle{ y_0 }[/math] (בסרטון 6:00: "ומה הייתה הבעיה כשלא הייתה רציפות?").
לדרוש גבול דו-צדדי בקצה של קטע סגור, או להפך, לומר ש־[math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math] רציפה בנקודה[math]\displaystyle{ 0 }[/math]: לפי הגדרה 4.5.1 היא אינה רציפה בנקודה [math]\displaystyle{ 0 }[/math], כי אינה מוגדרת משמאל לה ואין לה שם גבול דו-צדדי; אבל היא רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [0,b] }[/math], כי בקצה הגדרה 4.5.2 דורשת רק גבול חד-צדדי.
להסיק מרציפות ההרכבה שהפונקציה הפנימית רציפה: [math]\displaystyle{ g(x)=1 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\ge0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g(x)=-1 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x<0 }[/math] אינה רציפה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], ובכל זאת [math]\displaystyle{ g^2\equiv1 }[/math] רציפה. מנגד, [math]\displaystyle{ \left(\frac{x}{|x|}\right)^2 }[/math] שואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] באפס ובכל זאת אינה רציפה שם: היא אינה מוגדרת ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] (לפי הגדרה 4.5.4 ההרכבה מוגדרת רק היכן שהפנימית מוגדרת).
לזהות רציפות עם "הגרף חוצה את הציר בדרך": בסרטון (0:45) הפונקציה חותכת את ציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] ובכל זאת אינה רציפה, כי יש לה קפיצה. ההגדרה נקודתית: בכל נקודה הגבול שווה לערך; חיתוך הציר הוא מסקנה של רציפות בקטע סגור (משפט ערך הביניים), ולא ההגדרה.
מועד א' תשס"ב · שאלה 4 (אמריקאית): הרכבה רציפה של שתי פונקציות שאינן רציפות (עם פתרון)
מועד ב' תשע"ו (תיכוניסטים) · שאלה 5: רציפות בקטע [math]\displaystyle{ (-4,\infty) }[/math] של פונקציה מפוצלת עם פרמטר (השאלות והצעת פתרון של לירן ויונתן; בשורה האחרונה של הפתרון שם נפלה טעות: מ־[math]\displaystyle{ \frac{a}{4}=\frac{1}{a} }[/math] מתקבל [math]\displaystyle{ a^2=4 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a=2 }[/math], כי בשאלה [math]\displaystyle{ a>0 }[/math])
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הפונקציות; הקישור "רציפות" שם מוביל לדף הזה
תרגול 11 (לואי ומני) · עמ' 1: רציפות של פונקציה מפוצלת עם שני פרמטרים (בפתרון שם נפלה טעות חשבון: הנכון [math]\displaystyle{ a=-1 }[/math], [math]\displaystyle{ b=1 }[/math]); בהמשך הקובץ גם מיון אי־רציפות וערך הביניים
![ניסוי הכדור המקפץ מהסרטון: גובה הכדור [math]\displaystyle{ h(t) }[/math] כפונקציה של הזמן, כשמפילים אותו מגובה [math]\displaystyle{ D }[/math] של 75 ס"מ, ובכל קפיצה הוא חוזר ל־60% מהגובה הקודם ([math]\displaystyle{ 0.6D }[/math], [math]\displaystyle{ 0.6^2D }[/math] וכן הלאה). בעולם מושלם הכדור קופץ אינסוף פעמים, אבל משכי הקפיצות יוצרים טור הנדסי מתכנס, ולכן כל הקפיצות מסתיימות ברגע [math]\displaystyle{ T\approx3.08 }[/math] שניות, ומאז הכדור נח על הרצפה. בהגדלה (בפינה העליונה) רואים את הקפיצות האחרונות: בקפיצה ה־[math]\displaystyle{ k }[/math] הגובה הוא לכל היותר [math]\displaystyle{ 0.6^kD }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ h(t)\to0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ t\to T }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \lim_{t\to T}h(t)=0=h(T) }[/math], ו־[math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ T }[/math]. אפשר לצייר את הגרף "במשיכת קולמוס", אף שיש בו אינסוף קפיצות.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c4-05m.png)
