שדה

בקצרה: שדה הוא קבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb F }[/math] עם שתי פעולות בינאריות, חיבור וכפל, המקיימות סגירות, קומוטטיביות, אסוציאטיביות, דיסטריבוטיביות, קיום איברי יחידה (0 ו-1) וקיום הופכי לכל איבר שונה מ-0. דוגמאות: [math]\displaystyle{ \mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \mathbb Z_p }[/math] עבור [math]\displaystyle{ p }[/math] ראשוני.

שדה הוא אחד המבנים האלגבריים היסודיים ביותר במתמטיקה, ומכליל את התכונות החשבוניות המוכרות של המספרים הממשיים והרציונליים. המושג נלמד בקורס אלגברה לינארית, ומהווה בסיס להגדרת מרחב וקטורי.

קבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור [math]\displaystyle{ (\mathbb{F},\cdot,+) }[/math] נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:

1. סגירות

[math]\displaystyle{ \forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F} }[/math]

(שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)

2. קומוטאטיביות/חילופיות

[math]\displaystyle{ \forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a }[/math]

3. אסוציאטיביות

[math]\displaystyle{ \forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c) }[/math]

4. קיום אברים נייטרליים

קיימים אברים שנסמנם 1,0 המקיימים

[math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a=a\cdot1=a,a+0=0+a=a }[/math]

בנוסף מתקיים [math]\displaystyle{ 0\ne1 }[/math]

5. קיום אבר נגדי לחיבור-

לכל אבר [math]\displaystyle{ a }[/math] קיים אבר שנסמנו [math]\displaystyle{ (-a) }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ a+(-a)=0 }[/math] .

לצורך קיצור הכתיבה נסמן [math]\displaystyle{ a+(-a)=a-a }[/math] (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)

6. קיום איבר הופכי לכפל

לכל אבר [math]\displaystyle{ a\ne0 }[/math] קיים אבר שנסמנו [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ a\cdot a^{-1} = 1 }[/math] .

שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הנה [math]\displaystyle{ a\cdot b^{-1}=\dfrac{a}{b} }[/math] .

7. דיסטריבוטיביות/פילוג

[math]\displaystyle{ \forall a,b,c\in\mathbb{F}:a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c }[/math]

שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור.