שדה

קבוצה $\mathbb{F}$ עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור $(\mathbb{F},\cdot ,+)$ נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:

1. סגירות

$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{F}:a+b\in \mathbb{F},a\cdot b\in \mathbb{F}$

(שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)

2. קומוטאטיביות/חילופיות

$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b=b\cdot a$

3. אסוציאטיביות

$\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

4. קיום אברים נייטרליים

קיימים אברים שנסמנם 1,0 המקיימים

$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{F}:1\cdot a=a\cdot 1=a,a+0=0+a=a$

בנוסף מתקיים $0\ne 1$

5. קיום אבר נגדי לחיבור-

לכל אבר $a$ קיים אבר שנסמנו $(-a)$ כך שמתקיים $a+(-a)=0$ .

לצורך קיצור הכתיבה נסמן $a+(-a)=a-a$ (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)

6. קיום איבר הופכי לכפל

לכל אבר $a\ne 0$ קיים אבר שנסמנו $a^{-1}$ כך שמתקיים $a\cdot a^{-1}=1$ .

שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הנה $a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b}$ .

7. דיסטריבוטיביות/פילוג

$\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{F}:a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור.