שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1

שאלה קטנה (בקשר ל1.9)

מותר לי להגיע לערך העצמי מתוך הוקטור העצמי? כלומר להגיד שמצאתי וקטור (ללא הסבר מפורט) שבשבילו Av שווה ל xA ולכן x הוא ערך עצמי? תודה!

עדי: כן, זו הדרך בשאלה זו, לזה גם התכוונתי ברמז (ראה ארכיון)

תודה!!

שאלה 1.12

כתבתי, בערך בשורה אחת, שV ו"ע של A אם"ם Av=xv וכן ע"פ הגדרת T ידוע ש T(v)=Av ולכן T(v)=xv. (המשפט הכי קצר ופשוט שיכול להיות). זו הוכחה קבילה או שאני מפספס משה חשוב? תודה רבה!

עדי: נכון מאוד, רק אל תשכח לעשות את הכל באופן דו כיווני

ראי כאן

כבר עברו כמה שעות ועדיין לא קיבלתי תשובה מאוהד לגבי השאלה הזו. ידוע לך משהו על כך? תודה, אור שחף^שיחה 20:18, 1 בנובמבר 2010 (IST)

עדי: לא ידוע לי שנקבעה השלמה שכזו, תנסה לשלוח לו במייל אולי

המטריצה הנילווית (מצורפת/adj)

לסטודנט ששאל על ההבדל בהגדרות בין דר' צבאן לתירגול, תסתכל שוב על ההגדרה של דר' צבאן יתכן שהשמטת משם בסוף שיחלוף. ניתן לחשב מטריצה זו גם ללא החלפת האינדקס אך יש לשחלפה בסוף.

לסטודנטים הסקרנים מסוף השעור (מעדי)

1.ספקטרום AB ו BA: כצפוי, התשובה היכתה בי 10 שניות אחרי צאתי מהבניין וכבר לא היתם שם...

הגעתם למסקנה שאם Bv=0 אז 0 ע"ע של AB . נסו להבין מה זה מעיד על פ"א של AB כשנציב בו 0, לאחר מכן נסו להבין מה זה מעיד על פ"א של של BA כשנציב בו 0.

2. דמיון בין מטריצה למשוחלפתה: שים לב שהספקטרום שלהן זהה, בהמשך נבין שאם הן לכסינות זה גם מעיד על דמיון ביניהן.

רביעי נפלא לכולם, נתראה בחמישי עדי

בעיה קטנה בשאלה 1.18

הצלחתי להוכיח את כל מה שדרוש בתרגיל, חוץ מהקטע שבו Av=0. במילים אחרות, הגעתי לכך שלכל ע"ע x של AB עם ו"ע מתאים v יש לBA ע"ע x עם ו"ע מתאים Av, (ולהפך אם Bv). כעת אפשר להגיד שבמקרה הקטע שבו Av=0 "הורס" לי את ההוכחה, כי יכול להיות שיש ע"ע x עם ו"ע מתאים v!=0 שלו אין ע"ע מתאים בספקטרום של BA מכיוון שהו"ע המתאים שאמור להיות לו הינו Av, אך כשAv=0 זהו לא ו"ע. אפשר קצת עזרה לגבי איך לפתור את ההבעיה הזאת? תודה!

עדי: זו הסיבה שמבקשים לטפל בזה בנפרד. ראה רמז למעלה והמשך הסבר למטה

אפשר לבקש ציטוט (מדוייק) של השאלה? עוזי ו. 16:39, 3 בנובמבר 2010(IST)

הינה השאלה (שאלה אחרונה בתרגיל זה). האם זהו הפרופסור בכבודו ובעצמו?

מה שעדי רשמה מעלי קשור לזה? אם כן, מה אפשר להסיק מזה ש0 הוא ע"ע של AB? ומזה שהפולינום האופייני של AB יוצא מינוס אחד בחזקת n כפול הדט' של A כפול הדט' של B?

עדי: כן, ההערה למעלה קשורה לזה.מה שאפשר להסיק זה שאם k הוא ערך עצמי של מטריצה A אז הוא שורש של הפולינום האופייני שלה. אני לא יודעת מאיפה הגיע המינוס אחד בשאלתך וכל היתר, אבל היות ו k במקרה זה הוא אפס זה יעיד משהו על הדט' של AB ולכן על דט' של BA ולכן יאמר לכם משהו על 0 עבור BA.

הגעתי לכאן מקורס אחר. אם A או B הפיכות, אז המטריצות AB ו-BA צמודות ולכן יש להן אותו ספקטרום. אם שתיהן לא הפיכות, בהחלט יתכן שהמכפלות לא תהיינה צמודות (תרגיל: מצאו דוגמא שבה AB=0 אבל [math]\displaystyle{ \ BA \neq 0 }[/math]). (אגב, הפולינום האופייני של AB לא "יוצא" מספר; זה אולי הערך של הפולינום בנקודה t=0). את מנסה להוכיח שאם r הוא ערך-עצמי של AB אז הוא גם ערך-עצמי של BA. אם [math]\displaystyle{ \ r\neq 0 }[/math] ההוכחה עובדת, אבל כש-[math]\displaystyle{ \ r=0 }[/math] ומנסים את אותה הוכחה, משהו אכן משתבש. מצד שני, במקרה כזה צריך להוכיח רק ש-0 הוא ערך-עצמי של BA, ואת זה אפשר לעשות גם בדרך אחרת. עוזי ו. 17:49, 3 בנובמבר 2010 (IST)

מה זאת אומרת "צמודות"? וגם, לא הבנתי למה גם אתה וגם עדי אמרתם ש0 הוא ערך עצמי, הרי Av=0 הוא וקטור עצמי ולא ערך עצמי. איך ממשיכים מכאן?

עריכה: אם הצלחתי להראות שכשאר AV=0 אז V=0, אז זה בסדרה והוכחה נכונה?

צמודות הכוונה דומות. אם Av=0 ניתן גם לומר ש Av=0v, אם v שונה מאפס, מה זה אומר? שנית, איך זה הגיוני שהוכחת שהפתרון היחיד לAv=0 הוא v=0 עבור מטריצה A כללית? --ארז שיינר 23:38, 3 בנובמבר 2010 (IST)

קודם טעיתי, עכשיו הצלחתי. תודה רבה לכולם

תרגיל 3, שאלה 1.9

כבר הרבה זמן אני מנסה למצוא את המרחב העצמי של A משוחלפת עם ע"ע 1 ולא מצליח (חוץ מלהראות ש [math]\displaystyle{ sp\{(1,1,...,1)\} }[/math] תת קבוצה שלו). אני מפספס משהו? אפשר רמז?

לא צריך למצוא את המרחב העצמי, רק "לבדוק" שבאמת יש למטריצה ערך עצמי 1 שזה הרבה יותר קל =]

כתוב "מהו הוקטור העצמי המתאים?". ברור ש (t,t,...,t) לכל t ב-F הוא וקטור עצמי, אבל מה עם השאר?

מישהו?

זהו הוקטור העצמי המתאים אני מצאתי רק אותו (אולי אני טועה). אני התחכמתי והלכתי לפי העובדה שמכיוון שבשאלה כתוב למצוא את "הוקטור המתאים", יש רק אחד כזה. אבל אולי לא כדאי לסמוך על מתחכמים.

(לא מתרגל/ת): ידוע לנו מההרצאה ש-[math]\displaystyle{ V_\lambda(A)\le\mathbb F^n }[/math] לכל מטריצה A ולכל ע"ע שלה [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] (בפרט מטריצה משוחלפת של מטריצת מרקוב ובפרט ע"ע 1) ומהחישובים אנו יודעים ש-[math]\displaystyle{ \mbox{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\\vdots\\1\end{pmatrix}\right\}\le V_1(A^T) }[/math]. I היא מטריצת מרקוב ומתקיים [math]\displaystyle{ V_1(I^T)=\mathbb F^n }[/math]. כמו כן, [math]\displaystyle{ P=\begin{pmatrix}-1&&1&&1\\1&&-1&&1\\1&&1&&-1\end{pmatrix} }[/math] היא מטריצת מרקוב ו-[math]\displaystyle{ \mbox{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\\vdots\\1\end{pmatrix}\right\}=V_1(P^T) }[/math]. קיבלנו שלכל מטריצת מרקוב A מתקיים [math]\displaystyle{ \mbox{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\\vdots\\1\end{pmatrix}\right\}\le V_1(A^T)\le\mathbb F^n }[/math]. אנו יודעים על A רק שהיא מטריצת מרקוב ולכן שאר הו"ע תלויים בעובדה שאינה ידועה לנו, לכן לדעתי מה שהוכחת מספיק. (ניסוח טוב יותר של השאלה היה יכול להיות "מצא וקטור עצמי כלשהו", אבל עדיף לחכות למתרגל/ת שי/תבהיר את זה). אור שחף^שיחה 22:13, 3 בנובמבר 2010 (IST)

עדי: אין שום התחכמות, כתוב "הוקטור העצמי" ומצאתם את "הוקטור העצמי". (111...1) זה בסדר גמור כל עוד הוכחתם באופן מלא למה

דילוג על תרגילים שכבר פתרנו

יכול להיות שאני אצטער ששאלתי את זה, אבל מותר לדלג על תרגילים שכבר פתרנו בהרצאה/תרגול? (לא ענו לי כאן) תודה, אור שחף^שיחה 21:08, 3 בנובמבר 2010 (IST)

עדי:אתה מתכוון לתרגילי בית? אם אתה נעזר בשאלה שפתרתם לשם פיתרון תרגיל אחר ניתן להשתמש בזה, אם זו מהות כל השאלה שנשאלת (ובפרט השאלה עצמה) אז לא

שאלה 1

בשאלה הראשונה האיבר שבתןך הסכום - |Aij| זה המשלים האלגברי או שזה המינור והוא מופיע כך במקום להופיע בצורה שנכתב בתרגיל |Mij| ?? עדי: מינור דבר נוסף שאני מהסס לגביו הוא שכשאני מגדיר מטריצה נוספת האם בשורה ה-i אני כותב שורה מונפצת כלשהי או שאני לוקח שורה אחרת מהמטריצה?? ז"א האם n>k>1 ?? עדי:נסה להבין אילו רכיבים בשורה זו יענו על הנדרש

שאלה חשובה על ADJ

יש דרך יותר קלה לחשב מט' נלווית מאשר בעזרת ההגדרה (שאיתה צריכים לחשב מלא דטרמיננטות של מלא מינורים שכל אחת מהן לוקחת הרבה זמן לחשב)? תודה!

עדי:לא שעולה לי לראש

תרגיל 4 ש' 2

את A בשלישית צריך למצוא רק כשA לכסינה, נכון? תודה! עדי:נכון

לפי הניסוח של התרגיל אם A לא לכסינה צריך למצוא רק ע"ע ו-ו"ע

שאלה 2.10 בתרגיל 4

לאחר שמגיעים לפולינום האופייני מקבלים משוואה ממעלה שלישית עם פרמטר a ומשתנה למדה אותה אני לא מצליח לפרק כדי למצוא את ערכי a העונים על השאלה, אפשר בבקשה רמז לפתרון?

לי יצא למדה1 =2, למדה2 =2a, למדה3 =2a-, רק שאני לא בטוח מה עושים עכשיו...

חחחח פתרת כמעט לגמרי, עכשיו אתה צריך לוודא שאף ערך עצמי לא יהיה שווה לערך עצמי אחר, כך שיתקבלו 3 ערכים עצמיים שונים ואז המטריצה תהיה לכסינה

עדי: לא נכון, זה ששלושת הע"ע לא שונים לא אומר שהיא לא לכסינה ולכן זה לא מספיק. אולם, זו התחלה טובה. ראשית הבינו אכן מתי שלושתם שונים, כי אז וודאי היא לכסינה ואין צורך בו"ע. אח"כ הבינו מתי הם לא, מספרם יהיה נמוך כי זה סך הכל פולינום ממעלה 3,ואז הבינו עבור מיקרים אלו בעזרת הו"ע

הבהרת מושגים

מה אומר הסימון [math]\displaystyle{ [T] }[/math] ומה אומר הסימון [math]\displaystyle{ [T]_B }[/math], ? האם יש משפט שאומר [math]\displaystyle{ [T]v=T(v) }[/math] ואם כן מה זה אומר? תודה!

עדי:מה אומר הסימון השני אנחנו יודעים, איפה ראית את הראשון? אולי הם התכוונו מט' מייצגת כלשהי(ז"א לא ידוע לפי איזה בסיס) או אולי לפי הבסיס הסטנדרטי... ציין איפה זה הופיע. מה שאומר הביטוי (במידה והתכוונו למט' מייצגת) הוא שלהכפיל מט' מייצגת בוקטור זה כמו להפעיל את הה"ל על הוקטור, אם הכוונה בסימון היא למט' מייצגת כלשהי אז וודאי שזה לא נכון, כי הכפלת מט' דומות על אותו וקטור לא תיתן אותה תוצאה, אם הכוונה לבסיס הסטנדרטי אז זה נכון...

יתכן שאני טועה אבל זה שיש 3 וקטורים עצמיים במקרה הזה בהכרח אומר שהמטריצה לא לכסינה, הרי המטריצה היא מעל השדה C ולכן בסיס של המרחב C בשלישית מורכב מ 6 איברים ולא שלושה ולכן נקבל שכאשר ישנם 3 וקטורים עצמיים למטריצה לא קיים בסיס המורכב מוקטורים עצמיים ולכן לפי הקריטריון שלמדנו היא לא לכסינה. האם אני טועה?

שאלה 2.10

אם יש מטריצה עם פרמטרים, איך בודקים האם היא לכסינה? לא עברנו על שאלה כזאת. תודה רבה מראש!!

צריך לבטא את הפולינום האופייני בעזרת למדה והמשתנה a, אבל הבעיה היא שמתקבלת משוואה ממעלה שלישית עם הפרמטר a שאותו צריך למצוא, ואין לי מושג איך עושים את זה. אפשר רמז?

תנסה להוציא גורם משותף. לי יצא משוואה קלה (אבל אולי הייתה לי טעות חישוב).

עדי:פרוק הפולינום איננו קשה, את היתר ראה בדיון קודם בנושא

שאלה על וקטורים עצמיים

לערך עצמי אחד יכול לצאת כמה וקטורים עצמיים? אם כן, אפשר דוגמה קטנה לאיך זה יכול לקרות? תודה!!

וודאי. מטריצת היחידה ומטריצת האפס - כל הוקטורים הם וקטורים עצמיים שלהן ולכל אחת יש רק ערך עצמי אחד - 1 ו0. באופן כללי אתה יכול לקחת מטריצות אלכסוניות והערכים על האלכסון יהיו הע"ע ומספר הפעמים שהם מופיעים על האלכסון יהיה מימד המרחב העצמי - כלומר כמה וקטורים עצמיים בלתי תלויים מתאימים לע"ע מסויים. --ארז שיינר 21:19, 6 בנובמבר 2010 (IST)

אוקי, אז האם יש משפט שאומר שמספר הו"ע המתאימים לע"ע מסוים הוא בהכרח מספר הפעמים שהוא מופיע (הריבוי שלו בתוצאת הפ"א), או שיש עוד מקרים בהם יש כמה ו"ע המתאימים לע"ע אחד? תודה!

אני לא בטוח מה למדתם כבר ומה לא, אבל תבחן את המטריצה [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix} }[/math], פ"א, ע"ע, ו"ע. --ארז שיינר 22:20, 6 בנובמבר 2010 (IST)

יוצא ע"ע אחד עם ריבוי 2, אבל ו"ע אחד. אני התכוונתי האם יש אפשרות לע"ע אחד עם ריבוי 1 ושמתאימים לו כמה ו"ע.

עדי: אני לא בטוחה לאיזו קבוצה אתה שייך, אם לשלי אז אמרנו בשעור שיש קשר בין הריבויים אך נגיע לזה בהמשך. באופן כללי, לפי ניסוח השאלה שלך ארז ענה במדוייק, מימד המ"ע המתאים לע"ע יכול להיות גדול מאחד, לקשר לריבוי שלו נגיע אוטוטו.

אפשר הסבר רק כדי להיות בטוח: כמה וקטורים עצמיים יש במטריצה שארז הביא? תודה!

כמו שאמרת, מימד המרחב העצמי של הע"ע 2 הינו 1, ו2 הינו הע"ע היחיד. --ארז שיינר 12:13, 8 בנובמבר 2010 (IST)

משהו מוזר?

בחוברת של ד"ר צבאן (http://math-wiki.com/images/3/3a/Linear.pdf), בתרגיל 2.11, מופיע רק סעיף ג'! וכתוב בו שצריך להשתמש ב-ב' כדי לפתור! זה ממש מוזר! איך אפתור את התרגיל עכשיו?

עדי: צודק. הכוונה להשתמש בסעיף א

עזרה ב3.13

איך אפשר להוכיח שהפולינום מתפרק לגורמים לינאריים? אפשר קצת עזרה? כמו כן, אני לא מבין אי אפשר למצוא "גורמים אלו", אם A היא מטריצה כלשהי! (ולא מסוימת). תודה!

עדי: הרמז בשאלה די סוגר את הפינה הזו, מעבר לכך זה פשוט לתת לכם את התשובה

הצלחתי, תודה

תרגיל 4 שאלה 1

משום מה זה נראה אצלי במחשב כאילו המטריצות A,B שייכות למלבן מסדר 4*4.

אז מה באמת כתוב שם, לאיזה שדה הן שייכות? R? תודה מראש.

אכן R. התנצלותי.