שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 1

תרגיל 2 שאלה 5

האם חייבים להשתמש באפסילון לפתרון סעיף א'? או שזהו רק רמז? הרבה יותר פשוט להוכיח שinfB הוא חסם מילעל של A ולכן בהכרח מתקיים מה שצריך להוכיח.

תראה, עקרונית הבקשה להשתמש באפסילון היא על מנת לכוון סטודנטים בכיוון הנכון, שלרוב מסבירים בניפנופי ידיים. אולם, הוכחה מילולית מדוייקת מתקבלת כמובן גם כן. --ארז שיינר

תרגיל 1 שאלה 1

האם אני חייב לפצל לשני מקרים ולהשתמש בהגדרה של הערך המוחלט או שניתן להעלות בריבוע?

הממ אני לא חושב שזה נכון מה שאמרת קח דוגמא a=-7 ו b=1 יצא לך לא נכון

כע.. שמתי לב לטעות וכבר תיקנתי XD

תרגיל 1 שאלה 3

אני די מסתבך עם זה עברתי על ההוכחה של אי שיוויון המשולש ובכל זאת אין לי שום כיוון התחלה אם יש איזשהי דרך לעזור בלי לומר את התשובה באופן מלא אני אשמח לעזרה

(לא מתרגל) כשהוכחתי את הטענה, נעזרתי באי שויוון המשולש פעמיים ובמשפטים שלמדנו בהרצאה והזכרנו בתירגול. רמז קטן: (a-b) + b = a לא צריך פעמיים תניח בה"כ |a|>=|b|

צריך שני 'משפטים' בתרגיל הזה: [math]\displaystyle{ |c| \lt d \Leftrightarrow -d\lt c\lt d }[/math] וגם אי שוויון המשולש כמו שהזכירו לעיל. לא צריך מספיק אי שיווין המשולש

נראה לי שאלה 5 2 הייתה בבגרות השנה מועד ב 806

זה עם סכום של סדרה חשבונית לא?

טעות במערכי תרגול

כתבת ששלמות היא אקסיומה לאמרות שהיא נובעת מההגדרה של R אם אתה מתייחס לשלמות כאקסיומה אתה צריך להוכיח שקיים R

מתייחסים לזה כאקסיומה כיוון שאנו לא מוכיחים את זה. אבל זה נכון שזו אינה אקסיומה באמת, וזה נובע מההגדרות של שדה הממשיים. --ארז שיינר

הגדרנו בכיתה את R ע"פ ייצוגים עשרוניים אינסופיים ואז זה כבר קל להוכיח שלמות

תרגיל 1 4 א'

אני לא כל כך מבין איך ניתן לפתור אותו: הכוונה ל-x ממשי או טבעי? אם x ממשי: אפשר להיעזר במשתנה בשביל הפתרון? (k כאשר הוא משתנה ומייצג כל פעם מס' זוגי אחר בין 1 ל-n)

אני הגדרתי כמה קבוצות שבעזרתן (בעזרת איחוד שלהן) הבעתי את ה x המבוקשים... הוכחתי באינדוקציה.

תרגיל 1 שאלה 4

שאלה מקדימה, ראיתי שיש אגף נפרד לתרגילים לתלמידי מדעי המחשב. האם כאשר אין תרגול למדעי המחשב (כמו תרגול 1) אז התרגילים למתמטיקאים משותפים למדמ"ח?

לא, אתם צריכים רק לבצע את התרגילים שלכם. מכיוון שייתכן והיה בלבול שמתי את התרגיל של המתמטיקאים לשבוע (ממילא זה אותו דבר בשלב הזה). --ארז שיינר

שאלה 4 סעיף א', בדקתי תחומים וגיליתי שיש מספר רב של תחומים (משתנה לפי N) אך לא מצאתי דרך לנסח את זה בנוסחא אחת כתלות ב N. האם הפתרון צריך להיות מילולי?

אפשר לתאר את התחומים באופן מילולי אך מדוייק. --ארז שיינר

תרגיל 1, שאלה 1, בתרגיל של מתמטיקאים

האם התכוונתם שם גדול שווה במקום שווה?

תודה

לא... התכוונו בדיוק למה שרשום :) --לואי פולב 01:58, 6 בנובמבר 2011 (IST)

תרגיל 1 למדמח

מתי סטודנטים למדעי המחשב צריכים להגיש את התרגיל הראשון?

בכל שבוע עליכם להגיש תרגיל --ארז שיינר

שאלה כללית

במקום לרשום קיים n0 כך שלכל n>no.... אפשר לרשום במילים שזה מתקיים החל ממקום מסוים?

אם זה מדוייק, אפשר. --ארז שיינר

תרגיל 4 שאלה6

רשמתם רקורסיה בלי לרשום את a1 זה בכוונה?

כן, זה בכוונה. --ארז שיינר

בסדר הסתדרתי

אפשר להעלות את תרגיל 3??

כותרת הכל רשום בשנה שעברה :)

תרגיל 2 שאלה 3

האם אפשר להוכיח ש0 אינו החסם התחתון באמצעות דוגמא (קיים A ש0 אינו החסם התחתון שלו)?

לא. כאשר רשום "תהי A" הכוונה שצריך להוכיח את זה לכל A. (זה נכון בתרגילי בית וכמו כן במבחנים) --ארז שיינר

תרגיל 2 שאלה 5 ב

מצטער מראש על שאלה ארוכה,

אם עבור כל a ב A וכל b ב B מתקיים b>=a ונניח בשלילה ש A∩B היא קבוצה ריקה

משמע ש b > a לא? (כי אם היה a=b אז החיתוך היה מכיל את האיבר הזה).

ואז אפשר לקחת אפסילון של (b-a)/2 ולהוכיח שבמקרה ש infB=supA האפסילון הזה

יוצר סתירה ולכן A∩B לא יכולה להיות קבוצה ריקה אף פעם בתנאים של השאלה:

infB=supA=M

לפי הגדרת חסם עליון קיים a ב A כך ש a > M - ε ולכן a + ε > M

לפי הגדרת חסם תחתון קיים b ב B כך ש b < M + ε ולכן b - ε < M

ולכן קיימים a ו b שמקיימים: b - ε < a + ε => b - a < 2ε

כעת נציב כ ε את b-a / 2 (אפשר לעשות זאת כי b-a > 0 אם A∩B קבוצה ריקה ו b>=a)

ונקבל b - a < b - a שזה ודאי לא נכון

מצד שני החיתוך של 2 קבוצות פתוחות שבהן infB=supA אכן נותן קבוצה ריקה..

אתה יכול לכוון אותי למיקום הטעות בהוכחה?

תשובה- הטעות שלך קשורה לשאלה הפילוסופית מה קדם למה הביצה או התרנגולת. אצלנו ε "קדם" לa,b ולכן לא יכול להיות מוגדר באמצעותם. כשאתה אומר למשל:לפי הגדרת חסם עליון קיים a ב A כך ש a > M - ε ולכן

a + ε > M המשמעות היא שלכל ε חיובי קיים a כך ש.. זאת אומרת אם תבחר ε חיובי אז מובטח שקיים a (שתלוי באפסילון) כך שמתקיים אי השויון שציינת. באופן דומה אם בחרת מראש אפסילון חיובי אז קיים b שמקיים את מה שטענת. אם למשל תבחר ε=0.1 אז יהיו קיימים a,b מסויימים ואם תשנה ותקבע ε=0.01 אז שוב יהיו קיימים a,b שמקיימים את אי השוויונים שצינת אבל יתכן שיהיו שונים מa,b שמתאימים לε=0.1. בכל מקרה קודם בוחרים אפסילון ואז נקבעים a,b התלוים באפסילון. ממילא אי אפשר להגדיר את אפסילון באמצעות a,b כמו שעשית בסוף. כי a,b לא מוגדרים בכלל לפני שבוחרים את אפסילון.

--מני

תרגיל 2 שאלה 8

האם A בחזקת -1 לא חסומה בכלל או לא חסומה מלעיל ? כי אם ניקח לדוגמא את A להיות כל הממשיים בין 0 (בלי אפס) עד לX כלשהו 0 חסם תחתון של A אבל בעבור A בחזקת -1 כל מספר שלילי הוא חסם מלרע

שים לב שקבוצה חסומה אם ורק אם היא חסומה מלעיל וגם חסומה מלרע. כלומר קבוצה אינה חסומה אם ורק אם היא אינה חסומה מלעיל או שאינה חסומה מלרע.

--מני 17:57, 9 בנובמבר 2011 (IST)

בוחן באינפי

מתי הבוחן הראשון שלנו באינפי?

לא קיבלתם לוח מפורט עם הזמנים של כל הבחנים? --ארז שיינר

לא ניראה לי.

יש מצב אתה בודק מתי זה?

אני מצב בודק מפרסם בהודעות בחנים תאריך בבקשה --ארז שיינר

תרגיל 3 שאלה 1

האם אפשר להשתמש ב1, א, באריתמטיקה ולהגיד ש 1 חלקי שורש N שואף ל 1 חלקי אינסוף וזה שווה ל-0?

האם במשפט הארתימטיקה למדנו שאחד חלקי אינסוף שווה אפס? אם כן אז כן, אם לא אז לא. --ארז שיינר

זה בתרגיל 3, ורוב הסיכויים שבשבוע הבא כבר נלמד את זה :P

אז אפשר?

מה זה משנה, הרי ציון התרגיל לא נחשב לשום דבר (אני אקח ניחוש פרוע שאתה תיכוניסט). --ארז שיינר

אהבתי את כיוון המחשבה :)

התחכמויות

לדוגמא בתרגיל 3 שאלה 4 סעיף ה התבקשנו להוכיח שאם an מתכנסת ל 0 אז [math]\displaystyle{ |\frac{1}{a_n}| }[/math] מתכנסת לאינסוף. הטענה אכן נכונה אם לכל n מתקיים an != 0 ... במקרים כאלו צריך להוכיח או שצריך להתחכם?

לתאר את שתי הסיטואציות (התחכמתי על המתחכם) --ארז שיינר

"הגונב מגנב אינו גנב"---> "המתחכם עם המתחכם אינו מתחכם" ?

בכל מקרה התחכמתי(או הייתי משועמם) לפני ששאלתי ועניתי על שתי האפשרויות O_O

ניסוח קיום גבול

נניח שהראיתי שלכל e>0 (לא הצלחתי לכתוב אפסילון בלי שהעברית תציק) הערך המוחלט קטן מ2e (או כל קבוע אחר). ברור שבעצם הראיתי קיום גבול -- מה צריך לשפץ כדי שלא יורידו נקודות במבחן?

לפי הגדרת הגבול, יש להראות שלכל [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] קיים....כך ש- [math]\displaystyle{ |a_n-a|\lt \epsilon }[/math]. אם הראית שהביטוי קטן מ-[math]\displaystyle{ 2\epsilon }[/math] אז למעשה לא הראית את מה שצריך... שכן מכך ש-

[math]\displaystyle{ |a_n-a|\lt 2\epsilon }[/math] לא נובע ש- [math]\displaystyle{ |a_n-a|\lt \epsilon }[/math] --לואי 23:02, 12 בנובמבר 2011 (IST)

אם לכל אפסילון יש מקום בסדרה החל ממנו ההפרש קטן מפעמיים אפסילון, אזי, עבור חצי אפסילון בוודאי יש מקום בסדרה החל ממנו ההפרש קטן מאפסילון. כלומר, אתה צריך לקחת את המקום בסדרה שייתן בנוסחאות שלך חצי אפסילון בשלב שכיוונת לאפסילון.

אני הייתי אומר עכשיו יהי p > 0 (תיקח אות יוונית כמו דלתא, שיראה טוב) ולפי הטענה שהוכחנו בפרט כאשר e = p/2 מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-a|\lt 2\epsilon = p }[/math] ומש"ל (אולי אפשר להגיד ש p/2>0 כי מכפלה של שני חיוביים גם היא חיובית או משהו בסגנון)

נושאים לבוחן

מהם הנושאים לבוחן הקרוב זאת אומרת עד איזה תרגיל?

תרגילים 1,2,3 --ארז שיינר

האם גם החומר של סדרות מונוטוניות שלמדנו בהרצאה ובתירגול יכנס לבוחן?

באופן כללי צריך לדעת כל דבר שנלמד, זה הרעיון של הבוחן --ארז שיינר

שאלה שהופיע בתרגיל בית בקורס המקביל בת"א

תהי [math]\displaystyle{ \left \{ a_{n} \right \}_{n=1}^{\infty } }[/math] סדרה מתכנסת. צריך להוכיח שיש לסדרה או מינימום או מקסימום. אני אשמח לרמז כלשהו, כי באמת שאין לי רעיון. תודה מראש, אופיר

נניח ובשלילה שהם לא קיימים. היים ייתכן שהאינפימום והסופרמום שווים? אם הם שונים, האם ייתכן שהם שונים מגבול הסדרה? --ארז שיינר

הבינותי, רב תודות!

מועד הבוחן הראשון (תיכוניסטים)

בדף של אינפי 1 רשום שהובחן יתקיים ב20/11, ובהנחיות לבוחן רשום שהוא יתקיים ב24/11...

אפשר לדעת איזה משני התאריכים הוא נכון?

ההנחיות לבוחן מיועדות לסטודנטים שאינם תיכוניסטים עם תאריכי בחינה אחרים.

תרגיל 2 שאלה 5 ב' לעומת 5 ג'

להבנתי, כן יש איבר משותף לA ול-B במידה וה-sup הוא המקס' של A והמינימום של Bהוא ה-inf- זה לא מספיק כדי להוכיח ש"יש איבר שנמצא גם ב-A וגם ב-B" שזה מה שביקשו בסעיף ב'? בתשובות מופיעה התשובה כהפרכה. אבל לפי הניסוח נדמה כי מספיר להוכיח כי יש איבר אחד משותף דבר שקורה לדעתי במקרה הנ"ל. תודה.

במקרה הפרטי שציינת זה נכון. כאשר מבקשים הוכחה, צריך להוכיח לכל מקרה. באופן ברור, הדוגמא הנגדית מקיימת את הנתון על האינפימום והסופרמום אולם אין איבר משותף לשני הקבוצות. מה הבעייה אם כך? --ארז שיינר

הנחיות לבוחן - האם רלוונטי גם למדעי המחשב?

האם ההנחיות לבוחן רלוונטיות גם לתלמידי מדעי המחשב? משער שלא כי עדיין לא פרסמת (ארז) את תרגיל 3 ולא קיבלנו שום תרגיל חזרה אבל לחלק מהאנשים נפל הלב ;)

תרימו חזרה את הלב (: כאשר יהיה לכם בוחן אני ארשום למדמ"ח (: --ארז שיינר

תרגיל 4 שאלה 5

עלה לי רעיון להוכחה (שאגב תקף לכל סדרה) הוא מתבסס על תנאי מסויים, שאני רוצה לדעת אם ניתן לכתובו.

אני טוען שאם לקבוצה אין תת סדרה מונוטונית לא יורדת נניח אז החל ממקום מסויים n לכל m>n מתקיים שלכל l>m מתקיים: a(m)>a(l). (כמובן שיש טענה אנלוגית של סדרה לא עולה)

הרציונאל מאחורי האימרה הזו מאוד ברור: אם לסדרה אין תת סדרה לא יורדת החל ממקום מסויים לכל איבר שנבחר יש רק איברים שקטנים ממנו, אחרת היינו בוחרים אותו (ואם נניח שהיה כזה, והיינו בוחרים אותו והרצף היה נמשך עוד מספר סופי של פעמים, מצאנו את המיקום החדש).

ועכשיו שתי שאלות: א. האם זה באמת נכון? כי זה נשמע לי מאוד הגיוני ב. אם כן, כמה אני צריך להסביר לפני שאני משתמש בו?

-אותי זה גם שכנע --ארז שיינר

הבוחן מחר.

איך יראה התרגיל של הגדרת משפטים בבוחן? {יש משפטים שאנחנו לא יודעים איך קוראים להם}

תדעו מהי הגדרת הגבול של סדרות. --ארז שיינר

תרגיל 3 שאלה 3

עפ"י הפתרון של שאלה 3 אנו מתחייסים לתחום שבין 1-L ל1+L כאל מינימום ומקסימום. אמנם אנחנו מגדירים שהאיברים הם החל מn1 אבל האם בכך אנו לא בעצם מתעלמים מקיומם של מספר סופי של איברים בסדרה מחוץ לתחום? הרי ישנם איברים הקיימים בסדרה לפני 0 n ולפני n1. ולמה 1-L ו-1+L בהכרח שייכים לסדרה? (הוגדרו כמינימום ומקסימום) תודה.  

L+1 אינו בהכרח חסם מלעיל של הסדרה בדיוק בגלל הבעיה שאולי יש מספר סופי של איברים של הסדרה שלא קטנים ממנו. אנחנו לא מתעלמים מהאפשרות שקיימים מספר סופי של איברים בסדרה מחוץ לתחום, אלא נעזרים בעובדה שלקבוצה בעלת מספר סופי של איברים יש מקסימום תמיד. אני מדבר על הקבוצה

[math]\displaystyle{ A=\{a_1,\ldots a_{n_1}\} }[/math] שהמקסימום שלה גדול/שווה מכל איבריה. אם לקבוצה הסופית A מוספים את המספר הממשי [math]\displaystyle{ L+1 }[/math] אז מקבלים עדיין קבוצה סופית שנקרא לה B המקסימום של קבוצה סופית זו גדול/שוה מצד אחד לכל מהאיברים הראשונים של הסדרה ז"א [math]\displaystyle{ a_1,\ldots a_{n_1} }[/math]. מצד שני הוא גדול/שווה 1+L אבל 1+L גדול מכל שאר איברי הסדרה. בסה"כ אפשר להסיק שהמקסימום של הקבוצה B גדול מכל איברי הסדרה ולכן מצאנו חסם מלעיל. אותו רעיון עושים כדי למצוא חסם מלרע. בשום מקום לא הנחנו ש1-L או 1+L הם איברים של הסדרה וגם הם לא הוגדרו כמינימום או מקסימום של איזושהי קבוצה ובטח לא של הסדרה. מה שהוגדר הוא מקסימום ומינימום של קבוצות סופיות כמו שציינתי קודם. אחד מהאיברים בקבוצה B שהגדרתי קודם הוא L+1. זה לא אומר שL+1 איבר של הסדרה. :--מני

תרגיל 3 שאלה 6

1. למה צריך להוכיח את המקרה שלא קיים חסם מלרע הרי לפי ניסוח השאלה ניתן להסיק כי קיים חסם כזה 2. מדוע יש שימוש בN אפסילון? האם יש אפשרות לפתור באופן הבא: M הינו החסם התחתון של bn. לכן עבור כל ε>0 מתקיים M+ε>bn>M ולכן:M+ε>bn>M-ε ==> |bn-M|<ε האם זה מספיק בשביל להוכיח?

1. יש סדרות מונוטוניות יורדות שאינו חסומות מלרע. באופן כללי על קבוצה A שאינה חסומה מלרע מגדירים [math]\displaystyle{ \inf(A)=-\infty }[/math] הטענה שמופיעה בשאלה נכונה גם על סדרות מונוטוניות יורדות שלא חסומות מלרע לפי ההגדרה הרחבה הזו.

2. הטענה שעבור כל ε>0 מתקיים [math]\displaystyle{ M+\varepsilon\gt b_n }[/math] שנובעת מהגדרת חסם תחתון לא מדויקת. מה שכן נכון זה שלכל ε>0 קיים n כך ש[math]\displaystyle{ M+\varepsilon\gt b_n }[/math]. ז"א עבור ε>0 יש אינדקס מסוים תיאורטית הוא יכול להיות יחיד. בטח שאי אפשר יהיה להסיק ש [math]\displaystyle{ |b_n-M|\lt \varepsilon }[/math] החל ממקום מסויים כמו שצריך בהגדרת הגבול. אלא לכל ε>0 ניתן יהיה בדרך זו להסיק ש[math]\displaystyle{ |b_n-M|\lt \varepsilon }[/math] עבור איזשהו אינדקס ספציפי. בקיצור אם לא היתה לנו את העובדה שהסדרה יורדת אי אפשר היה לקבל מה שצריך. כתבתי קודם שלכל שלכל ε>0 קיים n כך ש.. כלומר האינדקס n תלוי ב ε הסימון [math]\displaystyle{ N_\varepsilon }[/math] אומר בדיוק את זה.

--מני

חוק הסנדוויץ' לאינסוף

האם אני יכול להשתמש בחוק הסנדוויץ' על מנת להוכיח שפונקציה שואפת לאינסוף ולא רק לL מספר קבוע(אמצא פונקציה יותר גדולה ויותר קטנה מהפונקציה הנתונה ששואפות לאינסוף)?

מספיק למצוא סדרה ששואפת לאינסוף שקטנה ממנה

לא ברור לי משו בקשר להגדרת הגבול

לדוגמא לסידרה 1 חלקי n כאשר הראתי על פי הגדרת הגבול שאפסילון גדול מ1 חלקי n זה בעצם אומר לי שההגדרה מתקיימת ? מה הופך את האי שיוויון לנכון בהכרח? תודה

תשובה: תכפיל ב n/eps ותקבל n > 1/eps וזה תמיד נכון כי N לא חסומה אז לכל אפסילון שתבחר קיים n שמקיים המשוואה. ניסוח מפורט בתרגיל כאן

תרגיל 3, שאלה 5

במקרה של bn=cn/an והגבול של cn הוא M ושל an הוא 0 איך מוגדר הגבול של סדרה באריתמטיקה של גבולות של הסדרה cn/an כמו מקודם

תודה

באריתמטיקה דורשים שהמכנה לא ישאף לאפס. --ארז שיינר

ניתן להתייחס לסדרות שלנו כסדרות של מממשיים?;

אני רוצה להשתמש באקסיומה מספר 15 (שאם סדרה חסומה מלעיל קיים לה חסם עליון) האם אני יכול לעשות זאת?

אקסיומת השלימות (לכל קבוצה חסומה מלעיל קיים חסם עליון) אינה נוגעת לסדרות כיוון שלסדרות לא מוגדרים חסמים. באיזה הקשר נשאלת השאלה? --ארז שיינר

בנוגע לשאלה 5 בתרגיל 4 נאמר כי הקבוצה חסומה ואני רוצה לדעת אם אני יכול להניח שקיים לה חסם עליון או לא

לא רשום שם קבוצות, אלא סדרה חסומה וסדרה מתכנסת. על איזו קבוצה אתה מדבר? הרי סדרה אינה קבוצה (יש לה משמעות לסדר, ואיברים יכולים להופיע יותר מפעם אחת). בכל מקרה, אפשר להניח שאנחנו מעל הממשיים על מנת שהגבול העליון יהיה מוגדר (אם זו הכוונה שלך). --ארז שיינר

למען הדיוק - סדרה היא כן קבוצה, אבל היא שונה מהקבוצה של כל האיברים שלה, שכנראה כוונת השואל אליה. (אם קיבלת שאוסף כל האיברים בסדרה חסום מלעיל מעל R - אכן קיים חסם עליון לאוסף.)

סדרה היא תת קבוצה של המכפלה הקרטזית בין הטבעיים ל, נניח, הממשיים. בתוך כך לא מוגדר עליה יחס סדר חלקי באופן טבעי, פרט לסדר הזוגות בסדרה לפי הטבעיים. ---ארז שיינר

בקשר לתת סדרות באופן כללי

תת סדרה חייבת להיות סדרה של מונוטונית עולה ממש או שזה רק האינדקסים עולים ומז"א an ank לא ברור לי כל כך האם יש קשר בין שתי ה-nים? זה אותו אחד? אם אפשר דוגמא קטנה ... תודה

תת סדרה לא צריכה להיות מונוטונית. כל סדרה היא תת סדרה של עצמה אז קח כל סדרה שלא מונוטונית ואז תת הסדרה שלה שהיא אותה הסדרה עצמה לא תהיה מונוטונית. רק סדרת האינדקסים צריכה להיות עולה ממש

נניח שיש לנו סדרה [math]\displaystyle{ \{a_n\}_{n\in \mathbb{N}} }[/math]

שמתחילה כך: [math]\displaystyle{ 1,7,2,-5,9,13\ldots }[/math] זאת אומרת למשל: [math]\displaystyle{ a_4=-5,\ a_5=9 }[/math]

נניח שבחרנו סדרת אינדקסים עולה [math]\displaystyle{ \{n_k\}_{k\in\mathbb{N}} }[/math] שמתחילה נניח כך [math]\displaystyle{ 2,5,\ldots }[/math]

זאת אומרת [math]\displaystyle{ n_1=2,\ n_2=5 }[/math]. אם נציב [math]\displaystyle{ n=2 }[/math] אז [math]\displaystyle{ a_n=a_2=7 }[/math] אבל אם נציב [math]\displaystyle{ k=2 }[/math] אז [math]\displaystyle{ n_k=n_2=5 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ a_{n_k}=a_{n_2}=a_5=9 }[/math].

[math]\displaystyle{ a_2 }[/math] הוא האיבר השני בסדרה המקורית ו [math]\displaystyle{ a_{n_2} }[/math] הוא האיבר השני של תת הסדרה והאיבר החמישי של הסדרה המקורית.

--מני

למה אם נציב n=1 נקבל 7 ולא 1? הרי 1 הוא הראשון בסדרה המקורית? ועוד משהו קטן ז"א שאין קשר בין n של סדרה מקורית לn של תת סדרה? אלו סתם סימונים?

היתה לי טעות הקלדה שעכשיו תיקנתי. התכוונתי לרשום אם נציב n=2.

לגבי השאלה השניה האינדקס של תת הסדרה הוא [math]\displaystyle{ k }[/math] ולא [math]\displaystyle{ n }[/math]. אלו לא סתם סימונים. רוצים לבנות הרי סדרה חדשה. מצד אחד רוצים להגיד מהו המיקום של איבר של הסדרה החדשה שבנינו (התת סדרה)ומצד שני מה היה המיקום שלו בסדרה המקורית. הדוגמא שנתתי קודם ממחישה את זה.

--מני

תרגיל 4

תוכלו להעלות תשובות לתרגיל 4?

יש סטודנטים שמגישים את תרגיל 4 רק ביום חמישי

--מני

גבולות של סדרות

למה (2+(lim (an+2)= lim((lim an?

או שזה נכון בסדרות מונוטוניות בלבד ואם כן למה?

תודה

זה לא תמיד נכון. זה נכון רק אם הגבול [math]\displaystyle{ lim a_n }[/math] קיים. במצב זה, הטענה נכונה מתוקף חוקי האריתמטיקה של הגבולות. --לואי 16:19, 29 בנובמבר 2011 (IST)

תרגיל 4 שאלה 1

האם כל איברי הסדרה חיוביים בהכרח?

כן. אם לא משוכנעים אפשר להוכיח זאת בקלות למשל באינדוקציה:--מני

שאלה לגבי הארתמטיקה של הגבולות

אם an שואפת לאינסוף וbn שואפת לאינסוף ניתן להסיק מכך לגבי החיבור והכפל של הסדרות אך לא לגבי החילוק והחיסור שלהן (יכולות במקרה של חיבור וחיסור לשאוף לכל גבול בעולם או להתבדר) האם תוכלו להמחיש/להסביר את הסיבה? אשמח להבין זאת קצת יותר לעומק, ואולי לשמוע על כמה סדרות "מוזרות" בהקשר הזה. תודה

ההסבר האינטואיטיבי הוא- אם סדרה שואפת לאינסוף ומוסיפים לה סדרה אחרת ששואפת לאינסוף אז במובן מסוים מחזקים את מגמת השאיפה לאינסוף וכנ"ל לגבי כפל. אבל, אם סדרה שואפת לאינסוף ומחסרים ממנה סדרה אחרת ששואפת לאינסוף או מחלקים בסדרה השואפת לאינסוף אז מחלישים את המגמה. השאלה כמה מחלישים. דוגמאות :למשל [math]\displaystyle{ b_n=n,a_n=n^2 }[/math] שתי הסדרות מתכנסות לאינסוף אבל

[math]\displaystyle{ a_n-b_n }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a_n/b_n }[/math] מתכנסות לאינסוף . אם נחליף בין הסדרות יש כאן דוגמאות גם למנה ששואפת לאפס וחיסור ששואף למינוס אינסוף. אם [math]\displaystyle{ c\in \mathbb{R} }[/math] ו [math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרה כלשהי השואפת לאינסוף אז אפשר לראות ש [math]\displaystyle{ a_n=b_n+c }[/math] תתכנס לאינסוף וההפרש הוא הסדרה הקבועה c שכמובן מתכנסת לc. אם סדרה אחת חסומה והשניה מתכנסת לאינסוף הסכום שלהם הוא סדרה שמתכנסת לאינסוף. אם ניקח [math]\displaystyle{ a_n=b_n+(-1)^n }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרה כלשהי השואפת לאינסוף אז גם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] תתכנס לאינסוף אבל ההפרש הוא חסומה שאינה מתכנסת. אז כיסינו כבר את כל המצבים האפשריים לחיסור. לגבי חילוק הזכרנו מנה ששואפת לאפס ומנה ששואפת לאינסוף. אם [math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרה כלשהי השואפת לאינסוף ו c ממשי חיובי אז [math]\displaystyle{ a_n=cb_n }[/math] תשאף לאינסוף והמנה תהיה קבוע השואף לc. אם ניקח סדרה חסומה של חיוביים שלא מתכנסת ונכפיל בסדרה השואפת לאינסוף נקבל סדרה השואפת לאינסוף. ניתן להיעזר בזה בשביל למצוא דוגמא שהמנה של סדרות השואפות לאינסוף מתבדרת. הערה: במנה של סדרות השואפות לאינסוף המצבים האפשריים הם גבול ממשי אי שלילי, גבול אינסוף או התבדרות. אין אפשרות לקבל גבול שלילי או מינוס אינסוף כמו שהיה בחיסור. :--מני

לגבי משפט הסנדוויץ

האם הוא תופס לגבי גבולות אינסופיים? כלומר סדרה לדוגמא חסומה בין שתי סדרות שגבולותיהם הם אינסוף או מינוס אינסוף אז גבולה הוא מינוס אינסוף או אינסוף?

תודה

אם יש לי שתי שאלות לשאול אותם באשכול אחד או לפתוח שניים?

מישהו כבר כבר ענה על השאלה הזו תחת הנושא:חוק הסנדוויץ' לאינסוף. אפשר להסתכל שם.

--מני

מתי מדמ"ח צריכים להגיש את תרגיל 4?

בבקשה העלו את תרגיל מס' 6, בבקשה בבקשה, ככל שזה יעשה יותר מוקדם יהיה לנו יותר זמן בסופ"ש לעשותו, תודה רבה מראש.

תרגיל מס' 6

בבקשה, העלו את תרגיל מס' 6, בבקשה בבקשה, העלו אותו כדי שיהיה לנו יותר זמן לעשותו בסופ"ש, תודה רבה מראש.

תרגיל 4 שאלה 2

האם אפשר להגיד שעבור סדרה שכל איבריה חיוביים ושואפת לאפס אזי גם אם נעלה את הסדרה בחזקת n זה עדיין ישאף לאפס? (כי הרי אם הסדרה שואפת לאפס אז משלב מסויים |An| יהיה קטן מ 1 ואז זה מתקיים לפי החוק שמוזכר בתחילת תרגיל 3). אם כן, מה הקשר של תרגיל 4 שאלה 2 למונוטוניות וחסימות? אפשר לפתור אותה בקלות עם משפט הסנדוויץ' אבל אני לא רואה דרך פשוטה לפתור את זה לפי הנושא האחרון. אם לא, למה? :)

כן, אפשר להוכיח את זה, בצורה דומה למדי למה שאמרת [יהי אפסילון גדול מ 0 וקטן מ 1 וכו']... אבל אפשר יותר בקלות להוכיח את התרגיל הזה.