שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/רציפות במ"ש

שאלה 1

"סכום וכפל בקבוע של רציפות במ"ש - רציף במ"ש"

יש לציין שנובע מזה שגם חיסור של רציפות במ"ש רציף במ"ש (כי זה כמו לכפול פונקציה אחת בקבוע 1- ואז לחבר ביניהן), לא?

אני לא חושב שיש צורך לציין, זה נכון. --ארז שיינר

שאלה לגבי הפתרון של תרגיל 1 בדוגמאות

• [math]\displaystyle{ f(x)=x\sin(x) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]

פתרון. הפונקציה אינה רציפה במ"ש, נבנה שתי סדרות:

[math]\displaystyle{ x_n=\frac{1}{n}+2\pi n }[/math]

[math]\displaystyle{ y_n=2\pi n }[/math]

מתקיים

[math]\displaystyle{ x_n-y_n=\frac{1}{n}\to0 }[/math]

אבל

[math]\displaystyle{ f(x_n)-f(y_n)=\left(\frac{1}{n}+2\pi n\right)\sin\left(\frac{1}{n}+2\pi n\right)\to2\pi }[/math]

שכן

[math]\displaystyle{ n\sin\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}\to1 }[/math]

איך הגענו לגבול הזה ([math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]) ? למרות השורה "שכן.." זה לא ברור.

[math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{n}+2\pi n\right)\sin\left(\frac{1}{n}+2\pi n\right)\to2\pi=\frac{1}{n}\sin\left(\frac{1}{n}\right)+2\pi n\sin\left(\frac{1}{n}\right) }[/math]

המחובר הראשון הוא שואפת לאפס כפול חסומה, וה- [math]\displaystyle{ 2\pi n }[/math] בתוך הסינוס התבטל כי זו המחזוריות של הסינוס. --ארז שיינר